Question

13．過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施．如圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由粗糙的水平軌道和在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)光滑圓形軌道組成，B、C分別是兩個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，第一個(gè)圓形軌道的半徑R₁=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，恰能通過第一圓軌道的最高點(diǎn)A、B間距L₁=18.5m，B、C間距L₂=12.5m．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求
（1）小球在經(jīng)過第一圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離．

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過第一圓軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求小球在經(jīng)過第一圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小球從開始到運(yùn)動(dòng)到第一圓軌道運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）要保證小球不脫離軌道，有兩種情況：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第二個(gè)圓軌道，與上題相似，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到與圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．為保證圓形軌道間不相互重疊，根據(jù)幾何知識(shí)知：R₂最大值應(yīng)滿足：（R₁+R₂）²=L²+（R₁-R₂）²，解得R₂．即可得到半徑R₂的可變范圍；根據(jù)動(dòng)能定理求解小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離．

解答 解：（1）設(shè)小球在經(jīng)過第一圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₁．
小球在最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得 v₁=$\sqrt{14}$m/s
（2）小球從開始到運(yùn)動(dòng)到第一圓軌道運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 μ=0.2
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第二個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₂，應(yīng)滿足
   mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
從A到第二圓軌道最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得
-μmg（L₁+L₂）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$v₀²
由上兩式解得：R₂=0.4m
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₂，即上升到與圓心等高的位置，
根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：R₂=1.0m
為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應(yīng)滿足：（R₁+R₂）²=L²+（R₁-R₂）²，
解得 R₂=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m
當(dāng)0＜R₂≤0.4m 時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)′，則
-μmgL′=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 L′=36.0m
當(dāng)1.0m≤R₂≤27.9m 時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)〞，則
L″=L′-2（L′-L₁-L）=36-2×（36-18.5-12.5）=26.0m
答：
（1）小球在經(jīng)過第一圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小是3.7m/s；
（2）小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.2；
（3）如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂的可變范圍為 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離是36.0m或26.0m．

點(diǎn)評(píng) 選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義：重力等于向心力．要知道使小球不能脫離軌道并不一定要求做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．