Question

12．在天花板與墻角處有一平面蜘蛛網(wǎng)OB與天花板成45°角．有一質(zhì)量為m的蜘蛛通過(guò)長(zhǎng)為l的蛛絲懸掛在蜘蛛網(wǎng)頂端O點(diǎn)，若蜘蛛從蛛絲與豎直成60°的位置由靜止擺下，忽略空氣阻力，將蜘蛛看做質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，求：
（1）蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)，蛛絲受到的拉力有多大？
（2）若蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)蜘蛛所抓的食物脫落，試證明食物不會(huì)落到蜘蛛網(wǎng)上（蛛網(wǎng)足夠長(zhǎng)）

Answer 1

分析 （1）對(duì)蜘蛛擺到最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理可得蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)的速度，在最低點(diǎn)由牛頓第二定律可求蛛絲受到的拉力；
（2）蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)蜘蛛所抓的食物脫落，則食物做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）對(duì)蜘蛛擺到最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（l-lsin30°）$①
在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$②
由①②解得：
F=2mg
（2）蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)蜘蛛所抓的食物脫落，則食物做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)下落的高度為h時(shí)，落到蜘蛛網(wǎng)上，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由①式得：v=$\sqrt{gl}$，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，水平位移x=l+h，
豎直方向下落的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
水平方向有：x=vt=$\sqrt{gl}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{2hl}$，
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，l+h$≥\sqrt{hl}$，只有當(dāng)l=h時(shí)，兩者相等，
因?yàn)橹刖W(wǎng)足夠長(zhǎng)，所以l+h$＞\sqrt{hl}$，所以不會(huì)落到蜘蛛網(wǎng)上．
答：（1）蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)，蛛絲受到的拉力為2mg；
（2）證明如上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定律、牛頓第二定律及平拋運(yùn)動(dòng)基本公式的直接應(yīng)用，知道蜘蛛擺到最低點(diǎn)時(shí)蜘蛛所抓的食物脫落后做平拋運(yùn)動(dòng)，注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，難度適中．