Question

13．如圖，在光滑的水平地面上，質(zhì)量為M=3.0kg的長(zhǎng)木板A的左端，疊放著一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），處于靜止?fàn)顟B(tài)，小物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長(zhǎng)為R=0.8m的不可伸長(zhǎng)的輕繩將質(zhì)量為m=1.0kg的小球C懸于固定點(diǎn)O點(diǎn)．現(xiàn)將小球C拉至上方使輕繩拉直且與水平方向成θ=30°角的位置由靜止釋放，到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，小球C與B發(fā)生彈性碰撞，空氣阻力不計(jì)，取g=10m/s²． 求：
（1）輕繩再次拉直繃緊前后瞬間小球C速度大��；
（2）小球C與小物塊B碰撞前瞬間輕繩對(duì)小球的拉力大小；
（3）木板長(zhǎng)度L至少為多大時(shí)，小物塊才不會(huì)滑出木板？

Answer 1

分析 （1）輕繩再次拉直繃緊前，小球C的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出繩子繃緊前瞬間小球C的速度v₀．繩子繃緊瞬間，小球沿圓周切線(xiàn)方向的分速度為v₀cosθ．
（2）小球由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)b點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒定律求出小球C與小物塊B碰撞前瞬間的速度，在此瞬間，小球C由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解拉力．
（3）C與B碰撞遵守動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出碰后兩者的速度．再研究B在A(yíng)上滑行的過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出木板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）O到a過(guò)程，據(jù)機(jī)械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
輕繩被拉緊瞬間，沿繩方向的速度變?yōu)?，沿圓周切線(xiàn)方向的速度為 v_α=v₀cosθ=4×cos30°=2$\sqrt{3}$m/s
（2）小球由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)b點(diǎn)過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{α}^{2}$+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
設(shè)小球在最低點(diǎn)受到輕繩的拉力為F，據(jù)牛頓第二定律有
   F-mg=m$\frac{{v}_^{2}}{R}$
 解得：F=3.5mg=35N
（3）小球與B碰撞過(guò)程中動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，取向右為正方向，則有
   mv_b=mv₁+mv₂ 
   $\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_b=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，碰撞后小球C與B交換速度
B在木板A上滑動(dòng)過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有
  mv₂=（m+M）v
B在木板A上滑動(dòng)的過(guò)程中，由能量守恒定律得
   μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v² 　
聯(lián)立解得 L=$\frac{M}{2μg（m+M）}$$（\sqrt{\frac{5gR}{2}}）^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 L=2.5m 
答：
（1）輕繩再次拉直繃緊前后瞬間小球C速度大小是2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球C與小物塊B碰撞前瞬間輕繩對(duì)小球的拉力大小是35N；
（3）木板長(zhǎng)度L至少為2.5m時(shí)，小物塊才不會(huì)滑出木板．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清物體的運(yùn)動(dòng)情況，要知道繩子繃緊瞬間沿繩子方向的速度突然減至零．彈性碰撞過(guò)程遵守兩大守恒：動(dòng)量定律和機(jī)械能守恒，質(zhì)量相等的兩球發(fā)生彈性碰后會(huì)交換速度．