Question

有一可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r的輕質(zhì)鼓形輪．在輪上繞有細(xì)繩，繩的下端掛有質(zhì)量為M的物體，在鼓形輪的軸上固定著四根相互垂直的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕桿，且L=2r．在輕桿的末端各固定一個(gè)質(zhì)量m的小球，且M=4m，如圖所示．釋放M后，M從離地H高處無(wú)初速下落，著地后M的速度立即變?yōu)榱�，而鼓形輪繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩又繞在輪上．（不考慮M晃動(dòng)，不計(jì)細(xì)繩與鼓輪之間的摩擦生熱）求：
（1）M第一次即將著地時(shí)的速度；
（2）M第一次著地后又被拉起能上升的最大高度；
（3）M運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析：（1）由于四個(gè)小球均勻分布，整體的重心在鼓形輪中心，重力勢(shì)能不變，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒及M與m的速度關(guān)系，列式求解；
（2）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解．
（3）運(yùn)用同樣的方法求出求出M著地二次、三次…上升的最大高度，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)即可求出總路程．

解答：解：（1）設(shè)M第一次即將著地時(shí)的速度大小為v，因L=2r，角速度相等，根據(jù)v=ωr知，m的速度為2v．
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  MgH=

1

2

Mv2+4×

1

2

m(2v)2
又M=4m
聯(lián)立解得，v=

2gH 5

．
（2）著地后M的速度立即變?yōu)榱�，被拉起能上升的過(guò)程，由機(jī)械能守恒得：
  4×

1

2

m(2v)2=Mgh
解得，h=0.8H
（3）同理可知M第二次即將著地時(shí)的速度大小為

2g?0.8H 5

，M第三次即將著地時(shí)的速度大小為

2g?0．82H g

…
M第二次、第三次…著地后被拉起能上升的最大高度分別為0.8²H，0.8³H…
所以M運(yùn)動(dòng)的總路程S=H+2×0.8H+2×0.8³H+…=H+

2×0.8H

1-0.8

=9H．
答：
（1）M第一次即將著地時(shí)的速度為

2gH 5

．
（2）M第一次著地后又被拉起能上升的最大高度為0.8H．
（3）M運(yùn)動(dòng)的總路程為9H．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)機(jī)械能守恒問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住四個(gè)小球的重力勢(shì)能不變，運(yùn)用機(jī)械能守恒和速度關(guān)系求解．