Question

18．美國(guó)宇航局2015年7月24日0時(shí)（北京時(shí)間）宣布，可能發(fā)現(xiàn)了“另一個(gè)地球”-開(kāi)普勒-452b，它距離地球1400光年．如果將開(kāi)普勒-452b簡(jiǎn)化成如圖所示的模型：MN為該星球的自轉(zhuǎn)軸線，A、B是該星球表面上的兩點(diǎn)（A在極地，B在赤道上）；現(xiàn)在A、B兩點(diǎn)各放置一質(zhì)量為m的物體，用精密彈簧秤在A點(diǎn)稱(chēng)量物體，平衡時(shí)其示數(shù)為F，在B點(diǎn)稱(chēng)量物體，平衡時(shí)其示數(shù)為99.9%F，已知該星球的半徑為R，試求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）該星球的同步衛(wèi)星距離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）在A點(diǎn)，彈簧秤的讀數(shù)等于萬(wàn)有引力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律列式求解即可；
（2）赤道物體重力為99.9%F，重力和向心力是萬(wàn)有引力的兩個(gè)分力，可以列式求解角速度；再對(duì)同步衛(wèi)星，利用萬(wàn)有引力等于向心力列式求解高度．

解答 解：（1）由題設(shè)條件知在極地A處有：F=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$…①
解得：M=$\frac{F{R}^{2}}{Gm}$…②
（2）在赤道上B處有：F-0.999F=mω²R…③
對(duì)同步衛(wèi)星而言有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）…④
聯(lián)立②③④解得：h=9R
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{F{R}^{2}}{Gm}$；
（2）該星球的同步衛(wèi)星距離地面的高度h等于9R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的運(yùn)用，關(guān)鍵是明確在北極點(diǎn)重力等于萬(wàn)有引力，在赤道重力和向心力的合力等于萬(wàn)有引力；對(duì)同步衛(wèi)星，要知道萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力．