Question

12．如圖所示，豎直平面內(nèi)的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為R，A點(diǎn)與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)在O的正下方，小球自A點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)時進(jìn)入管道，當(dāng)小球到達(dá)B點(diǎn)時，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，求：
（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度； 
（2）落點(diǎn)C與A的水平距離．

Answer 1

分析 （1）小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，根據(jù)在B點(diǎn)的受力情況，由牛頓第二定律可以求出小球在B點(diǎn)的速度，由動能定理可以求出釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度．
（2）小球離開軌道后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動知識可以求出平拋運(yùn)動的水平距離從而得到C到A的水平距離．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為v_B．因?yàn)樾∏虻竭_(dá)B點(diǎn)時，管壁對小球的彈力F=9mg，所以由牛頓第二定律可得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
從小球開始下落到達(dá)B點(diǎn)的過程中，由動能定理可得：
mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：h=3R；
（2）設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v．小球從B點(diǎn)到達(dá)管道最高點(diǎn)過程中，由動能定理可得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_B²
小球離開管道后做平拋運(yùn)動，則
在豎直方向上有：R=$\frac{1}{2}$gt²，
在水平方向上：x=vt，
解得：x=2$\sqrt{2}$R
由此可得，C與A的水平距離為（2$\sqrt{2}$-1）R；
答：（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度為3R；
（2）落點(diǎn)C與A的水平距離為（2$\sqrt{2}$-1）R．

點(diǎn)評 分析清楚小球的運(yùn)動過程，明確牛頓第二定律可求得某點(diǎn)的速度，運(yùn)用動能定理可研究兩個點(diǎn)間速度關(guān)系．也可以運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動規(guī)律解題．