Question

（12分）如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，即F=-kx，其中k是由系統(tǒng)本身特性決定的線性回復(fù)力常數(shù)，那么質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（1）圖1所示為一理想單擺，擺球的質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)。重力加速度為g。請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的線性回復(fù)力常數(shù)k=?

（2）單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于偏角很小，因此可以認(rèn)為擺球沿水平直線運(yùn)動(dòng)。

如圖2所示，質(zhì)量為m的擺球在回復(fù)力F=-kx作用下沿水平的x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若振幅為A，在平衡位置O點(diǎn)的速度為vm，試證明：。

（3）如圖3所示，兩個(gè)相同的理想單擺均懸掛在P點(diǎn)。將B球向左拉開(kāi)很小的一段距離由靜止釋放，B球沿水平的x軸運(yùn)動(dòng)，在平衡位置O點(diǎn)與靜止的C球發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞后B、C粘在一起向右運(yùn)動(dòng)。已知擺球的質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)。釋放B球時(shí)的位置到O點(diǎn)的距離為d。重力加速度為g。求B、C碰撞后它們沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的最大距離。

Answer 1

（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）如答圖3所示，以平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿水平方向建立x軸。

設(shè)當(dāng)偏角為θ時(shí)，位移為x。

重力垂直繩方向的分力提供回復(fù)力

當(dāng)θ很小時(shí)

可得

所以

（2）單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有線性回復(fù)力做功。

擺球從最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過(guò)程中，由動(dòng)能定理

其中

所以

（3）B球向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中

B、C碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒

B、C從O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中

其中

可得

考點(diǎn)：動(dòng)能定理，動(dòng)量守恒定律