Question

在光滑絕緣的水平臺(tái)面上，存在平行于水平面向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．水平臺(tái)面上放置兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），兩小球質(zhì)量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場(chǎng)線平行．開始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力作用下，A球開始運(yùn)動(dòng)（此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，即t=0），后與B球發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動(dòng)能無損失．設(shè)在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉(zhuǎn)移，且不考慮兩球碰撞時(shí)間及兩球間的萬有引力．
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）分別在甲、乙坐標(biāo)系中，用實(shí)線作出A、B兩球從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第三次碰撞這段過程中的v-t圖象．要求寫出必要的演算推理過程．
（3）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第三次碰撞這段過程中電場(chǎng)力共做了多少功？
（4）若要求A在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面（v=0時(shí)刻除外），可以在水平面內(nèi)加一與電場(chǎng)正交的磁場(chǎng)．請(qǐng)寫出磁場(chǎng)B_（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．（不考慮相對(duì)論效應(yīng)）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A球與B球碰撞前的速度，抓住質(zhì)量相等小球發(fā)生彈性碰撞，速度交換求出碰后小球A、B的速度．
（2）碰撞后A、B兩球交換速度，A球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞后速度為零，又開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，與B球碰撞后交換速度，以B球的速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)于B球，開始靜止，碰撞后交換速度，交換速度后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）通過牛頓定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出第三次碰撞后A、B的速度，結(jié)合能量守恒求出電場(chǎng)力做的功．
（4）抓住重力和洛倫茲力平衡，根據(jù)速度的變化，得出洛倫茲力的變化，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)于時(shí)間的通項(xiàng)式．
解答：解：（1）A球的加速度a=                                         
碰前A的速度，碰前B的速度v_B1=0．
A、B碰撞后交換速度，設(shè)碰后A、B球速度分別為v_A1′、v_B1′
v_A1′=0                         
（2）A、B球發(fā)生第一次、第二次、第三次的碰撞時(shí)刻分別為t₁、t₂、t₃．
則 
第一次碰后，經(jīng)t₂-t₁時(shí)間A、B兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰前瞬間A、B兩球速度分別為v_A2和v_B2
     得：t₂=3t₁
v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=      
第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為v_A2′和v_B2′，經(jīng)t₃-t₂時(shí)間A、B兩球發(fā)生第三次碰撞，并設(shè)碰前瞬間A、B兩球速度分別為v_A3和v_B3
則         
當(dāng)v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+ 發(fā)生第三次碰撞，易得t₃-t₂=t₂-t₁  
      



（3）由（2）問中所求的物理量，得
=13QEL．
（4）對(duì)A球由平衡條件得 BQv_A=mg       且．   解得
從A開始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第一次碰撞    
從第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞
從第二次碰撞到發(fā)生第三次碰撞    
從第三次碰撞到發(fā)生第四次碰撞    
以此類推，從第n次碰撞到發(fā)生第n+1次碰撞

  （n=1，2，3，4…..）
答：（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為0，．
（2）如圖所示．
（3）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第三次碰撞這段過程中電場(chǎng)力共做了13QEL．的功．
（4）磁場(chǎng)B_（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系， （n=1，2，3，4…..）．
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性碰撞，速度交換，以及知道兩球在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，找出規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、能量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．