Question

經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理。

現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。

（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算。

（2）若實(shí)驗(yàn)中觀測到的運(yùn)動(dòng)周期為T_觀測，且T_觀測∶T_計(jì)算=1∶ （N＞1）。

為了理解T_觀測與T_計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)。若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

Answer 1

（1）雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，兩者之間的萬有引力提供向心力，所以得：M=，解得速度：v=，所以得到雙星的周期為T_計(jì)算==πL。

（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期

T_觀測=T_計(jì)算＜T_計(jì)算。

這種差異是由雙星系統(tǒng)（類似一個(gè)球）內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用，與一質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M′且位于中點(diǎn)O處）的作用相同�？紤]暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v₁，則有：M， v₁=，因?yàn)橹荛L一定時(shí)，周期和速度成反比，由上式得：·，把以上各式聯(lián)立可以解得：M′=M，設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則有：π（）³ρ=M，所以得到：ρ=。