Question

（2013?東莞一模）如圖所示，在真空中，半徑為d的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)只存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，在磁場右側(cè)有一對平行金屬板M和N，兩板間距離也為d，板長為l．板
間存在勻強(qiáng)電場，兩板間的電壓為U₀．兩板的中心線O₁O₂，與磁場區(qū)域的圓心O在同一直線上．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，以速率v₀從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑OO_l并指向圓心O的方向進(jìn)入磁場，從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場后沿兩板的中心線O₁O₂射入勻強(qiáng)電場，從兩板右端某處飛出．不計粒子所受重力．求
（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小
（2）粒子在磁場和電場中運(yùn)動的總時間
（3）當(dāng)粒子在電場中經(jīng)過時間t=

l

2v0

時，突然改變兩金屬板帶電性質(zhì)，使電場反向，且兩板間電壓變?yōu)閁₁，則粒子恰好能從O₂點(diǎn)飛出電場，求電壓U₁和U₀的比值．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，由幾何知識得到軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）粒子運(yùn)動

1

4

周期時間，求得周期，即可求出粒子在磁場中運(yùn)動的時間；粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，平行板的方向做勻速直線運(yùn)動，而水平方向位移大小為l，由t=

l

v0

求出時間，即可求出總時間；
（3）當(dāng)粒子在電場中經(jīng)過時間t=

l

2v0

時，使電場反向，要使粒子恰好能從O₂點(diǎn)飛出電場，在前t=

l

2v0

時間內(nèi)，粒子在豎直方向先做勻加速直線運(yùn)動，再在后t=

l

2v0

時間內(nèi)，做等時間的勻減速直線運(yùn)動，兩段過程豎直方向的位移大小相等、方向相反，即總位移為零，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)位移關(guān)系和位移公式求得電壓U₁和U₀的比值．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)圓周運(yùn)動的半徑為r，由牛頓第二定律
      qv₀B=m

v 2 0

r

 由幾何關(guān)系知  r=d        
所以  B=

mv0

qd

        
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的周期T=

2πm

qB

，
在磁場中運(yùn)動時間為四分之一個周期，t1=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πl(wèi)

2v0

．
粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，平行板的方向做勻速直線運(yùn)動
則t₂=

l

v0

在電磁場中運(yùn)動的總時間t_總=t₁+t₂=

πl(wèi)+2l

2v0

（3）根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性可知：粒子在豎直方向先做勻加速直線運(yùn)動，再做等時間的勻減速直線運(yùn)動，
第一階段：a=

qU0

md

，s=

1

2

at2
第二階段：a1=

qU1

md

，s₁=vt-

1

2

a1t2=at²-

1

2

a1t2
豎直方向總位移為零，s+s₁=0
所以解得  a₁=3a              
故U₁：U₀=3：1
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是

mv0

qd

．
（2）粒子在磁場和電場中運(yùn)動的總時間是

πl(wèi)+2l

2v0

．
（3）電壓U₁和U₀的比值是3：1．

點(diǎn)評：本題粒子在磁場中運(yùn)動時，由幾何知識求出軌跡半徑是關(guān)鍵，在電場中分析兩段位移的關(guān)系是關(guān)鍵．