Question

12．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)對(duì)殼內(nèi)的物體的引力為0．假設(shè)地球是一半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g．試求：
（ 1 ）在地面上方離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小與在地面下方地球內(nèi)部離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小之比為多少？
（ 2 ）設(shè)想地球的密度不變，自轉(zhuǎn)周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉淼囊话�，僅考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，在其內(nèi)部距離地心距離為r處一點(diǎn)的加速度相當(dāng)于半徑為r的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求解；
（2）地球和同步衛(wèi)星的萬有引力提供同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，根據(jù)萬有引力提供向心力公式列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{{M}_{g1}m}{（R+0.5R）^{2}}=m{g}_{1}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{（R-0.5R）}^{2}}=m{g}_{2}$，
且有：$\frac{{M}_{g1}}{{M}_{g2}}=\frac{ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{ρ•\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）^{2}}=\frac{8}{1}$，
則得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{8}{1}×\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$
（2）地球和同步衛(wèi)星的萬有引力提供同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，則有：
$G\frac{{M}_{g1}m}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$，
而${M}_{g1}=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{2}$，${M}_{g2}=ρ•\frac{4}{3}π（{\frac{R}{2}）}^{2}$，
解得：$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}$
答：（ 1 ）在地面上方離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小與在地面下方地球內(nèi)部離地面距離為$\frac{R}{2}$處的重力加速度大小之比為8：9；
（ 2 ）設(shè)想地球的密度不變，自轉(zhuǎn)周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑑H考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，知道質(zhì)量與半徑之間的關(guān)系，明確地球的密度是不變的，難度適中．