Question

附加題
如圖，豎直放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD的B端相切，C為圓弧最低點(diǎn)，圓弧半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小物體從A點(diǎn)無(wú)初速滑下，已知小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）小物體在斜面上滑行的總路程；
（2）小物體通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，對(duì)C點(diǎn)的最大壓力和最小壓力．

Answer 1

分析：（1）由幾何知識(shí)得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點(diǎn)無(wú)初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來(lái)越小，最終在BE圓弧上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負(fù)功，滑動(dòng)摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動(dòng)能定理求解總路程．
（2）當(dāng)物體第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，速度最大，對(duì)C點(diǎn)的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小，物體對(duì)C點(diǎn)的壓力最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：解：（1）設(shè)物體在斜面上滑行的總路程為S．對(duì)物體從A到B（或E）的過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得   S=

R

μ

（2）當(dāng)物體第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，速度最大，設(shè)為v_C1．由幾何知識(shí)得到，AB的長(zhǎng)度AB=Rcotθ
對(duì)A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得
    mgR-μmgcosθRcotθ=

1

2

m

v

2 C1

設(shè)軌道對(duì)物體的支持力F₁，由牛頓第二定律得
   F₁-mg=m

v 2 C1

R

 聯(lián)立解得F₁=3mg-2μmgcosθcotθ 
當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為v_C2，由動(dòng)能定理得
   mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 C1

設(shè)軌道對(duì)物體的支持力F₂，由牛頓第二定律得
   F₂-mg=m

v 2 C2

R

聯(lián)立解得  F₂=3mg-2mgcosθ
由牛頓第三定律可知，物體對(duì)C點(diǎn)的最大壓力為3mg-2μmgcosθcotθ，
最小壓力為3mg-2mgcosθ
答：（1）小物體在斜面上滑行的總路程是

R

μ

；
   （2）物體對(duì)C點(diǎn)的最大壓力為3mg-2μmgcosθcotθ，最小壓力為3mg-2mgcosθ．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點(diǎn)．