Question

20．如圖所示，截面為△ABC的三棱柱靜止在水平面上，∠CAB=θ．第一種情況讓小球在C點(diǎn)以初速度v₀水平拋出，三梭柱固定不動(dòng)，則小球恰好能落在邊的中點(diǎn)D，第二種情況是在小球以初速度水平拋出的同時(shí)，使三棱柱獲得一個(gè)大小為$\frac{{v}_{0}}{n}$的水平速度而向右勻速運(yùn)動(dòng)，小球恰好能落到三棱柱上的A點(diǎn)，重力加速度大小為g．求：
（1）第一種情況下小球從拋出到落到D點(diǎn)的時(shí)間；
（2）第二種情況下小球落到A點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的表達(dá)式，結(jié)合水平位移和時(shí)間關(guān)系求出時(shí)間；
（2）根據(jù)小球下降的高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出小球落到A點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）設(shè)C點(diǎn)的高度為h，則小球到達(dá)D時(shí)，下落的高度是$\frac{1}{2}$h，根據(jù)$\frac{1}{2}$h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{\frac{h}{2}×2}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}$，
水平方向：$x=\frac{\frac{1}{2}h}{tanθ}={v}_{0}{t}_{1}$
聯(lián)立得：${t}_{1}=\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$
（2）三棱柱向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球下落的時(shí)間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
水平方向：$\frac{h}{tanθ}=（1+\frac{1}{n}）{v}_{0}{t}_{2}$
豎直方向的分速度：v_y=gt₂
合速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
聯(lián)立得：$v=\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4（n+1）^{2}ta{n}^{2}θ}$
答：（1）第一種情況下小球從拋出到落到D點(diǎn)的時(shí)間是$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$；
（2）第二種情況下小球落到A點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4{（n+1）}^{2}ta{n}^{2}θ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，難度適中．