Question

如圖所示為一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xoy。在第Ⅰ象限中，取一個(gè)與兩個(gè)坐標(biāo)軸相切的圓，圓心為點(diǎn)D，切點(diǎn)為A、B，圖中只畫(huà)出圓的四分之一。在第Ⅱ、Ⅲ象限過(guò)M點(diǎn)有一條垂直x軸的虛線，其左側(cè)固定兩帶電平行金屬板P、Q，兩板間距離為d，其中心軸線與x軸重合，板右端有擋板，只在中心軸上開(kāi)有小孔。在平面直角坐標(biāo)系xoy的整個(gè)空間區(qū)域中（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里（圖中沒(méi)有畫(huà)出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在平行板內(nèi)x軸上的S點(diǎn)，有一個(gè)能沿x軸正向發(fā)射相同速度粒子的粒子源，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q（不計(jì)粒子的重力）。當(dāng)調(diào)節(jié)PQ兩板間的電壓為時(shí)，粒子打到擋板上距P極板為的N點(diǎn)，當(dāng)調(diào)節(jié)PQ兩板間的電壓為時(shí)，粒子沿x軸從小孔M點(diǎn)射出。從小孔M射出的粒子，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好經(jīng)過(guò)AB段圓弧的中點(diǎn)C，且OM=OB（忽略電磁場(chǎng)間的相互影響）。求：

（1）粒子打到N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能Ek

（2）圓弧ACB的半徑R。

Answer 1

【試題解析】

（1）設(shè)粒子的初速度為v0，粒子從S點(diǎn)到N點(diǎn)時(shí)有： （3分）

        當(dāng)PQ兩板的電壓為時(shí)：   （2分）   得：（1分）

                代入得：                  （2分）

（2）解法一：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力和牛頓運(yùn)動(dòng)定律

有    （2分）得：     （1分）

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必在過(guò)M點(diǎn)并垂直于x軸的直線ME上；同時(shí)這個(gè)軌跡經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，所以軌跡的圓心也一定在MC的垂直平分線EF上，這樣ME與EF的交點(diǎn)E就是軌跡的圓心，ME就是軌跡的半徑r。過(guò)C點(diǎn)作MB的垂線與MB交于H點(diǎn)，則△MEF∽△CMH

有：                                           （2分）

由 ∠CDB=45°

得CH=OD-OC45°      （1分）

            MH                     （1分）

  （1分）

         MFMC

聯(lián)立可得：                       （2分）

解法二：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

                                  （2分）

得到：                        （1分）

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必在過(guò)M點(diǎn)并垂直于x軸的直線ME上；同時(shí)這個(gè)軌跡經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，所以軌跡的圓心也一定在MC的垂直平分線EF上，這樣ME與EF的交點(diǎn)E就是軌跡的圓心，ME就是軌跡的半徑r。過(guò)C點(diǎn)作MB的垂線與MB交于H點(diǎn)。

圓的軌跡方程為：       （3分）

        C點(diǎn)坐標(biāo)為：                  （1分）

                                     （1分）

          代入圓的軌跡方程得：       （2分）

【參考答案】