Question

3．光滑水平面上，一個(gè)長平板與半圓組成如圖所示的裝置，半圓弧面（直徑AB豎直）與平板上表面相切于A點(diǎn)，整個(gè)裝置質(zhì)量M=5kg．在裝置的右端放一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），小滑塊與長平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，裝置與小滑塊一起以v₀=12m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)給裝置加一個(gè)F=64N向右的水平推力，小滑塊與長平板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，當(dāng)小滑塊滑至長平板左端A時(shí)，裝置速度恰好減速為0，此時(shí)撤去外力F并將裝置鎖定（M速度瞬間變?yōu)榱悖�．小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好能通過軌道最高點(diǎn)B．滑塊脫離半圓形軌道后又落回長平板．已知小滑塊在通過半圓形軌道時(shí)克服摩擦力做功W_f=9.5J．g=10m/s²．求：

（1）裝置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移大��；
（2）長平板的長度l；
（3）小滑塊最后落回長平板上的落點(diǎn)離A的距離．

Answer 1

分析 （1）以裝置為研究對(duì)象，利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可．
（2）以滑塊為研究對(duì)象，利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可．
（3）利用滑塊恰好經(jīng)過最高點(diǎn)利用牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)列方程求解．

解答 解：（1）分析M受力，由牛頓第二定律得：
F-μmg=Ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：
a₁=12m/s²
設(shè)裝置向左運(yùn)動(dòng)到速度為0的時(shí)間為t₁，則有：
v₀-a₁t₁=0
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：
t₁=1s
裝置向左運(yùn)動(dòng)的距離：
x₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=12×1m-0.5×12×1m=6m
（2）對(duì)m受力分析，由牛頓第二定律得：
μmg=ma₂
代入數(shù)據(jù)解得：
a₂=4m/s²
設(shè)滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，則：
v₁=v₀-a₂t₁
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：
v₁=8m/s
小滑塊向左運(yùn)動(dòng)的距離為：
x₂=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₂${t}_{1}^{2}$=12×1m-0.5×4×1m=10m
則平板長為：l=x₂-x₁=10m-6m=4m
（3）設(shè)滑塊在B點(diǎn)的速度為v₂，從A至B，由動(dòng)能定理得：
-mg×2R-W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
在B點(diǎn)有：mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
R=0.9m，v₂=3m/s
小滑塊從B點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)：
2R=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：t₂=0.6s
落點(diǎn)離A的距離為：x=v₂t₂=3×0.6m=1.8m
答：1）裝置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移大小6m；
（2）長平板的長度l為4m；
（3）小滑塊最后落回長平板上的落點(diǎn)離A的距離1.8m．

點(diǎn)評(píng) 弄清問題的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵，靈活利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解是解題的核心，此題綜合性較強(qiáng)．