Question

（20分）如圖右圖所示是游樂場中過山車的實物圖片，左圖所示是過山車的簡化模型圖。在模型圖中水平傾角都為α＝37°，斜軌道AB、CD、EF與豎直光滑圓形（圓弧）軌道圓滑連接。B、C、D、E、F為對應的切點。其中兩個圓軌道半徑分別為R₁＝6.0m和R₃＝3.0m，中間圓弧軌道的半徑為R₂。且兩圓形軌道的最高點P、Q與A、D、E點平齊�，F使小車（視作質點）從A點以一定的初速度沿斜面向下運動。已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ＝1/24，g＝10m/s²，sin37º＝0.6，cos37º＝0.8，tan18.5⁰=1/3。問：

⑴若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點P處，則其在A點的初速度應為多大？

⑵若在⑴問情況下小車能安全到達Ｅ點，則能否安全通過第三個圓形軌道的Q點？

⑶若小車在A點的初速度為m/s，且R₂=10m則小車能否安全通過整段軌道？

 

 

Answer 1

解析：（1）小車恰好過P點，故有

          

得 　　  �。�1）

   小車由A到P的過程，由動能定理有

           　　　  （２）

由幾何關系可得

                 （3）

由（1）（2）（3）并代入數據得

            　  　（4）

（2）設小車能夠通過Q點，則A到Q由動能定理得

  （5）

其中 

代入數據可得

         （6）

而車恰好能過Ｑ點時，在Ｑ點的速度為      （7）

故小車能安全通過第三圓軌道       （8）

（3）小車以v=m/s的初速度從P點下滑時，因為有

所以，小車可以通過第一圓形軌道        （9）

設小車到中間圓弧最高點G的速度為，則A到Ｇ由動能定理得

       （10）

其中 

代入數據可得      （11）

小車在最高點要不脫離軌道必須滿足

所以小車在中間軌道上有脫離軌道的危險。即小車不能安全通過整段軌道。     （12）

評分標準：共20分，其中(4)(6)(9)(11)每式1分，其余每式2分。