Question

17．如圖所示，光滑的水平桌面上，釘有兩枚鐵釘A和B，相距0.1m，長(zhǎng)1m的柔軟細(xì)線，一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s，垂直于細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，使繩子逐漸被纏繞在AB上，已知細(xì)線所能承受的最大拉力為8N，問(wèn)：
（1）小球第一次碰釘子B之前細(xì)線的拉力大小？
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂用時(shí)多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)F=$\frac{m{v}^{2}}{r}$求得繩子的拉力
（2）根據(jù)向心力的來(lái)源求出每經(jīng)過(guò)半個(gè)周期拉力的大小的表達(dá)式，以及每半個(gè)周期時(shí)間的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析求解總時(shí)間

解答 解：（1）小球第一次碰到B之前，根據(jù)牛頓第二定律可知：
F=$m\frac{{v}^{2}}{r}=0.5×\frac{{2}^{2}}{1}N=2N$
（2）在小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于細(xì)繩不斷纏在A、B上，其軌道半徑逐漸減�。�
小球受到的繩子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F隨R的減小而增大，而運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期 t=$\frac{πr}{v}$隨繩長(zhǎng)的減小而減�。�推算出每個(gè)半周期的時(shí)間及周期數(shù)，就可求出總時(shí)間．根據(jù)繩子能承受的最大拉力，可求出細(xì)繩拉斷所經(jīng)歷的時(shí)間．
設(shè)AB間距離為d．
在第一個(gè)半周期內(nèi)：F₁=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}}$，t₁=$\frac{π{L}_{0}}{v}$
在第二個(gè)半周期內(nèi)：F₂=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-d}$，t₂=$\frac{π（{L}_{0}-d）}{v}$
在第三個(gè)半周期內(nèi)：F₃=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-2d}$，t₃=$\frac{π（{L}_{0}-2d）}{v}$
…
依此類推，在第n個(gè)半周期內(nèi)：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（n-1）d}$，t₃=$\frac{π[{L}_{0}-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{{L}_{0}}zbnn9f9=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
設(shè)在第x個(gè)半周期時(shí)，F(xiàn)_x=8N．由F_x=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（x-1）d}$
代入數(shù)據(jù)得 8=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得 x=6.5，取x=6．
代入第1題表達(dá)式得：t=t₁+t₂+t₃+…+t₆=$\frac{π（6{L}_{0}-d-2d-…-5d）}{v}$=2.25πs
答：（1）小球第一次碰釘子B之前細(xì)線的拉力大小為2N
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂用時(shí)2.25πs

點(diǎn)評(píng) 本題是物理數(shù)列類型，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)求出拉力和時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．