Question

9．如圖所示，質(zhì)量均為1kg的滑塊A和木板B最初靜止在帶有擋板的粗糙斜面的底端，斜面傾角為θ=37°，現(xiàn)用大小為14N的力F沿斜面向上拉木板B，在力F作用的同時(shí)，給滑塊A一個(gè)沿斜面向上的初速度v₀=6m/s，若A與B間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ₁=$\frac{1}{4}$，木板B與斜面間的摩擦系數(shù)為μ₂=$\frac{1}{2}$，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²，斜面和木板足夠長，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）從力F作用于木板B開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多少時(shí)間A和木板B速度相等？
（2）當(dāng)A和木板B速度相等時(shí)，撤去外力F，問A相對木板B向上滑行的最大距離？
（3）當(dāng)A到達(dá)木板B最遠(yuǎn)位置后，再經(jīng)過多少時(shí)間，A從木板B的左端滑下？（結(jié)果可以保留根號）

Answer 1

分析 （1）分別對A和B進(jìn)行受力分析，然后由牛頓第二定律求出它們各自 的加速度，最后由速度公式即可求出時(shí)間；
（2）撤去外力F后，分別對A和B進(jìn)行受力分析，然后由牛頓第二定律求出它們各自 的加速度，確定B在速度為0后是否能夠靜止，再求出A相對木板B向上滑行的最大距離；
（3）先討論A向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，B是否能夠向下運(yùn)動(dòng)，然后又位移公式即可求出時(shí)間．

解答 解：（1）開始時(shí)A向上的速度大于B向上的速度，所以A受到的摩擦力的方向向下，設(shè)A與B的質(zhì)量都是m=1kg，選取沿斜面向上的方向?yàn)檎�，沿斜面方向�?br />ma₁=-mgsinθ-μ₁mgcosθ
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{1}=-8m/{s}^{2}$
B受到A對B的向上的摩擦力和斜面對B的向下的摩擦力、重力、支持力．A對B的壓力，如圖，則：
垂直于斜面的方向：N₂=N₁+mgcosθ=mgcosθ+mgcosθ=2mgcosθ
沿斜面的方向：F-mgsinθ+μ₁mgcosθ-μ₂•N₂=ma₂
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
A與B速度相等時(shí)：v₀+a₁t=a₂t
得：t=0.6s
（2）在撤去拉力后，A與B的速度：v₁=a₂t=2×0.6=1.2m/s
若A仍然相對于B向上運(yùn)動(dòng)，則：-mgsinθ+μ₁mgcosθ-μ₂•N₂=ma₃
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{3}=-12m/{s}^{2}$
B向下的加速度大于A向下的加速度，所以A仍然相對于B向上運(yùn)動(dòng)，B將先停下，B后停下，B停止后的假設(shè)受到的斜面的摩擦力的方向向上，若能靜止則：
f=mgsinθ-μ₁mgcosθ=$m×10×0.6-\frac{1}{4}×m×10×0.8$=4m＜${μ}_{2}{N}_{2}=\frac{1}{2}×2m×10×0.8=8m$
所以B停止后，A上升的過程中B靜止不動(dòng)，A向上的加速度不變，則：
${2{a}_{1}x}_{A}=0-{v}_{1}^{2}$，${2{a}_{3}x}_{B}=0-{v}_{1}^{2}$
A向上的位移：${x}_{A}=\frac{0-1．{2}^{2}}{2×（-8）}=0.09$m
B向上的位移：${x}_{B}=\frac{0-1．{2}^{2}}{2×（-12）}=0.06$m
A相對木板B向上滑行的最大距離是：$△x={{v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+x}_{A}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-{x}_{B}$
代入數(shù)據(jù)得：△x=1.83m
（3）A向下運(yùn)動(dòng)的過程中，假設(shè)B受到A的向下的摩擦力，則有：
f′=mgsinθ+μ₁mgcosθ=$m×10×0.6+\frac{1}{4}×m×10×0.8=10m$＞${μ}_{2}{N}_{2}=\frac{1}{2}×2m×10×0.8=8m$
B將向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)B向下的加速度a₃，則有：-f′+μ₂N=ma₃
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{3}=-2m/{s}^{2}$
A向下運(yùn)動(dòng)的過程中受到B對A的向上的摩擦力，則：
-mgsinθ+μmgcosθ=ma₄
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{4}=-4m/{s}^{2}$
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t1A滑到B的下端，則：$-△x=\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{1}=\sqrt{1.83}$s
答：（1）從力F作用于木板B開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過0.6s時(shí)間A和木板B速度相等；
（2）當(dāng)A和木板B速度相等時(shí)，撤去外力F，A相對木板B向上滑行的最大距離是1.83m；
（3）當(dāng)A到達(dá)木板B最遠(yuǎn)位置后，再經(jīng)過$\sqrt{1.83}$s時(shí)間，A從木板B的左端滑下．

點(diǎn)評 該題是牛頓第二定律的應(yīng)用中多物體、多過程的運(yùn)動(dòng)類型，而且B物體運(yùn)動(dòng)的情況是不確定的，在解答的過程中要對B的可能的情況進(jìn)行一定的討論，這是該題解答的難點(diǎn)所在．