Question

如圖在xoy平面內(nèi)有平行于x軸的兩個(gè)足夠大的熒光屏M、N，它們的位置分別滿足y=l和y=0，兩屏之間為真空區(qū)域。在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一放射源不斷沿y軸正方向向真空區(qū)域內(nèi)發(fā)射帶電粒子，已知帶電粒子有兩種。為探索兩種粒子的具體情況，我們可以在真空區(qū)域內(nèi)控制一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)和一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，方向與x軸平行，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xoy平面。

試驗(yàn)結(jié)果如下：如果讓電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，我們發(fā)現(xiàn)粒子束完全沒(méi)有偏轉(zhuǎn)，僅在M屏上有一個(gè)亮點(diǎn)，其位置在S( 0 , l )；如果只讓磁場(chǎng)存在，我們發(fā)現(xiàn)僅在N屏上出現(xiàn)了兩個(gè)亮點(diǎn)，位置分別為P( -2l ， 0 )、Q( ，0 )，由此我們可以將兩種粒子分別叫做P粒子和Q粒子。已知粒子間的相互作用和粒子重力可以忽略不計(jì)，試求（坐標(biāo)結(jié)果只能用l表達(dá)）：

（1）如果只讓磁場(chǎng)存在，但將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁= ，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；

（2）如果只讓電場(chǎng)存在，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；

（3）如果只讓磁場(chǎng)存在，當(dāng)將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)?i>B₂= kB時(shí)，兩種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求k的數(shù)值。

Answer 1

 (1)當(dāng)磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E同時(shí)存在時(shí)，兩種粒子都受力平衡，都滿足

Eq=Bqv

所以兩種粒子速度相同都為v=                 ①(2分)

當(dāng)僅存在磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力，兩種粒子都滿足

得                         ②(2分)

當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為B時(shí)，

P粒子的軌道半徑r₁=l，Q粒子軌道半徑為r₂=            ③

由②可知當(dāng)磁場(chǎng)為B₁減半時(shí)，兩粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都加倍，此時(shí) r₁′=2l，r₂′=

此時(shí)P粒子將打在M屏上，由幾何關(guān)系可求出落點(diǎn)橫坐標(biāo)

所以P粒子亮點(diǎn)位置(，l )                 (1分)

而Q粒子仍打在N屏上，易得亮點(diǎn)位置(l，0)          (1分)

(2)由上問(wèn)①②③式，可得兩粒子的荷質(zhì)比及其與E、B的關(guān)系，對(duì)P、Q分別有

                        ④

                      ⑤(1分)

當(dāng)僅存在電場(chǎng)時(shí)，P粒子將向右偏，y方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)

vt=l                                ⑥(1分)

x方向分運(yùn)動(dòng)為受電場(chǎng)力下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有

                           ⑦

                         ⑧(1分)

結(jié)合④⑥⑦可得

                        ⑨(1分)

由①④⑨可得

x₁=

同理可以求得Q粒子在-x方向的偏轉(zhuǎn)位移為

x₂=2l  

故P、Q兩粒子打在屏上的位置坐標(biāo)分別為(，l)、(-2l，l)。  (2分)

 (3)由②和③可以得出結(jié)論，不論磁場(chǎng)為多少，P、Q兩粒子的軌道半徑R₁：R₂=4：1不變。因?yàn)閮闪Ｗ铀俣却笮∠嗟�，所以要想兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)相等，兩粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心角之比必須為θ₁：θ₂=1：4。

如右圖粒子打在M屏上時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧圓心角θ(銳角)與半徑R滿足l=Rsinθ，不可能滿足R₁：R₂=4：1和θ₁：θ₂=1：4。所以兩粒子都打在M屏上不可能滿足要求。     (2分)

兩粒子都打在N屏上，圓心角都為π也不能滿足要求。   (2分)

所以結(jié)果必然為P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=。

由幾何關(guān)系易得此時(shí)R₁=l，結(jié)合②③可求得此時(shí)

B₂= ，k=    (2分)