Question

某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖所示不用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3…N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1）．將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞…所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰．（不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10m/s²）
（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n，求n+1號(hào)球碰撞后的速度．
（2）若N=5，在1號(hào)球向左拉高h(yuǎn)的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16k（16h小于繩長）問k值為多少？

Answer 1

分析：（1）用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒分析該碰撞過程，解方程組即可．
（2）根據(jù)題意前后兩個(gè)小球碰撞后后一個(gè)小球的速度與兩球的質(zhì)量有關(guān)系，即V′n+1=

2Vn

k+1

，我們利用不完全歸納法得到：如果知道V₁，那么，Vn+1=(

2

1+k

)nv1，于是第5號(hào)球的速度可求，那么，5號(hào)球上升的高用機(jī)械能守恒可以解決．

解答：解：（1）本題中的兩球相碰，均可看成是“一靜一動(dòng)彈性碰撞模型”．因?yàn)槊總�(gè)球的質(zhì)量依次遞減，碰后不會(huì)出現(xiàn)入射球反彈的情況．如果入射球質(zhì)量為m₁，被碰球質(zhì)量為m₂，碰前m₁的速度為v₁，碰后兩球的速度分別為v₁′、v₂′由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
m v₁=m₁v₁′+m₂v₂′

1

2

mV12=

1

2

mV′12+

1

2

mV′22
得：V′1=

m1-m2

m1+m2

V1     V′2=

2 m1

m1+m2

V1  
本題主要應(yīng)用v₂′當(dāng)n取代1時(shí)，n+1就取代2．
設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m，與n+1號(hào)球碰撞后的速度分別為v_n′、v_n+1′取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1=km_n 
根據(jù)動(dòng)量守恒，有m_nV_n=m_nV′_n+km_nV′_n+1…①
根據(jù)機(jī)械能守恒，有

1

2

mnVn2=

1

2

mnV′n2+

1

2

kmnV′n+12…②
由①②得：V′n+1=

2Vn

k+1

(V′n+1=0舍去)…③
（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有：
m1gh=

1

2

m1V12…④
v₁=

2gh

…⑤
同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度
V5=

2g×16k

…⑥
由③式可得Vn+1= (

2

1+k

)nv1…⑦
N=n=5時(shí)，v₅=(

2

1+k

)5V1…⑧
由⑤⑥⑧三式得：
k=

2

-1=0.414…⑨
答：（1）n+1號(hào)球碰撞后的速度V′n+1=

2Vn

k+1

（2）k值為0.414

點(diǎn)評(píng)：本題是利用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問題的典型例子，其中由1號(hào)球的速度歸納第n+1號(hào)球的速度是關(guān)鍵，而且也是難點(diǎn)．