Question

1．如圖（a）所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場中，電場方向與X軸平行，電場強(qiáng)度E隨時(shí)間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示，E為+E₀時(shí)電場強(qiáng)度的方向沿x軸正方向．有一帶正電的粒子P，在某一時(shí)刻t₀以某一速度v沿Y軸正方向自坐標(biāo)原點(diǎn)0射入電場，粒子P經(jīng)過時(shí)間T到達(dá)的點(diǎn)記為A（A點(diǎn)在圖中未畫出）．若to=0，則OA連線與Y軸正方向夾角為45°，不計(jì)粒子重力：
（1）求粒子的比荷；
（2）若t₀=$\frac{T}{4}$，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若t₀=$\frac{T}{8}$，求粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度．

Answer 1

分析 （1）由于帶電粒子在x軸上受到的是方向交替變化的力，而y軸方向不受力，所以帶電粒子的運(yùn)動情況比較雜．y軸方向一直做勻速直線運(yùn)動，而x軸上從t₀=0出發(fā)的粒子先做勻加速運(yùn)動$\frac{T}{2}$，后做勻減速$\frac{T}{2}$，則經(jīng)過Tv_x=0，把xy方向的分位移分別求出來，根據(jù)合位移與y軸夾角為45°，聯(lián)立求得粒子的比荷．
（2）從$\frac{T}{4}$時(shí)刻出發(fā)的粒子，按同樣的道理分段分別求出x、y方向上的位移，從而就能知道A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）從$\frac{T}{8}$時(shí)刻出發(fā)的粒子，在x軸方向上先經(jīng)$\frac{3}{8}T$時(shí)刻勻加速，在經(jīng)過$\frac{3}{8}T$時(shí)間的勻減速至零．再反方向勻加速$\frac{T}{8}$至某一值，再正方向減速至零．則粒子的速度只有y軸方向的速度了，即合速度為v．

解答 解：（1）粒子在t₀=0時(shí)刻射入電場，粒子沿y軸方向勻速運(yùn)動，位移大小為：
  y=vT
  粒子沿x軸方向在0～$\frac{T}{2}$內(nèi)做初速度為零的勻加速運(yùn)動，位移為x₁，末速度為v₁，則：${x_1}=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  v₁=a$\frac{T}{2}$
  粒子沿x軸方向在$\frac{T}{2}$～T內(nèi)做勻減速運(yùn)動，位移為x₂，則：${x_2}={v_1}（\frac{T}{2}）-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  粒子沿x軸方向的總位移為x，則：
  x=x₁+x₂
  粒子只受到電場力作用，由牛頓第二定律得：
  qE=ma
  由題意OA與y軸正方向夾角為45°，則：y=x
  解得：$\frac{q}{m}=\frac{4v}{{{E_0}T}}$
（2）粒子在t₀=$\frac{T}{4}$時(shí)刻射入電場，粒子沿y軸方向勻速運(yùn)動，位移大小為：
  y=vT
  粒子沿x軸方向在$\frac{T}{4}$～$\frac{T}{2}$內(nèi)做初速度為零的勻加速運(yùn)動，位移為x₃，末速度為v₂，則：${x_3}=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}$
  v₂=a$\frac{T}{4}$
  粒子沿x軸方向在$\frac{T}{2}$～T內(nèi)做勻變速運(yùn)動，位移為x₄，末速度為v₃，則：${x_4}={v_2}（\frac{T}{2}）-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  ${v_3}={v_2}-a\frac{T}{2}$
  粒子沿x軸方向在T～$\frac{5T}{4}$內(nèi)做勻變速運(yùn)動，位移為x₅，則：${x_5}={v_3}（\frac{T}{4}）+\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}$
  粒子沿x軸的總位移為x′，則：
  x′=x₃+x₄+x₅
 解得：x’=0
  則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，vT）
（3）粒子在t₀=$\frac{T}{8}$時(shí)刻射入電場，粒子沿y軸方向勻速運(yùn)動，速度不變；沿x軸方向在$\frac{T}{8}$～$\frac{T}{2}$內(nèi)做初速度為零的勻加速運(yùn)動，末速度為v₄，則：
  v₄=a$\frac{3T}{8}$
  粒子沿x軸方向在$\frac{T}{2}$～T內(nèi)做勻變速運(yùn)動，末速度為v₅，則：${v_5}={v_4}-a\frac{T}{2}$
  粒子沿x軸方向在T～$\frac{9T}{8}$內(nèi)做勻變速運(yùn)動，末速度為v₆，則：${v_6}={v_5}+a\frac{T}{8}$
  解得：v₆=0
  則：粒子通過A點(diǎn)的速度為v．
答：（1）求粒子的比荷為$\frac{4v}{{E}_{0}T}$．
（2）若t₀=$\frac{T}{4}$，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，vT）．
（3）若t₀=$\frac{T}{8}$，粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度為v．

點(diǎn)評 本題涉及的帶電粒子在交變電場中的復(fù)雜運(yùn)動，y軸方向由于不受力做勻速直線運(yùn)動，而x軸方向上受力方向周期性變化的大小恒定的力，所以加速大小不變而方向變化，所以根據(jù)粒子出發(fā)的時(shí)刻，分段求出位移和末速度，最后在求出最終的末速度和位移．當(dāng)然如果學(xué)習(xí)了動量定理，本題有更簡單的解法．