Question

16．如圖所示，三顆人造地球衛(wèi)星a、b、c均圍繞地球沿逆時針做勻速圓周運動，b、c在同一軌道上，均為地球同步衛(wèi)星，圖示時刻a、b恰好相距最近，b、c的軌道半徑是a軌道半徑的4倍，已知地球自轉(zhuǎn)周期為24小時，下列說法中正確的是（　�。�

• A． a的周期為6小時
• B． a的加速度為b加速度的16倍
• C． c衛(wèi)星只要加速就能撞上b
• D． 衛(wèi)星a和b下一次相距最近，還需經(jīng)過的時間為$\frac{24}{7}$小時

Answer 1

分析 三顆人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，應用萬有引力提供向心力列出等式比較求得衛(wèi)星a的運行周期．
由萬有引力提供向心力求出向心加速度；
c衛(wèi)星要加速后，需要的向心力增大，將做離心運動；
某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方，當兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動角度相差2π時，即a比b多轉(zhuǎn)一圈，相距最近．

解答 解：A、設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星A和B質(zhì)量分別為m_a、m_b，兩顆人造地球衛(wèi)星a和b繞地球做勻速圓周運動，應用萬有引力提供向心力列出等式：
$G\frac{M{m}_{a}}{{{r}_{a}}^{2}}={m}_{a}{（\frac{2π}{{T}_{a}}）}^{2}{r}_{a}$…①
$G\frac{M{m}_}{{{r}_}^{2}}={m}_{（\frac{2π}{{T}_}）}^{2}{r}_$…②
由①②聯(lián)立解得：${T}_{a}=\frac{1}{8}{T}_=\frac{1}{8}×24h=3$h…③．故A錯誤；
B、由萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=ma$
所以：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{a}}{{a}_}=\frac{{r}_{B}^{2}}{{r}_{A}^{2}}=\frac{16}{1}$．故B正確；
C、c衛(wèi)星要加速后，需要的向心力增大，將做離心運動，不能能撞上b．故C錯誤；
D、設(shè)至少經(jīng)過時間t它們再一次相距最近，此時a比b多轉(zhuǎn)一圈，
即 $\frac{t}{{T}_{a}}-\frac{t}{{T}_}=1$…④
由③④聯(lián)立解得：t=$\frac{24}{7}$h．故D正確．
故選：BD

點評 本題既可應用萬有引力提供向心力求解，也可應用開普勒行星運動定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時相距最遠的求解，用到的數(shù)學變換相對較多，增加了本題難度．