Question

7．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在直線x=-2l₀到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向．在電場(chǎng)左邊界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起由A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子，依次連續(xù)以相同的速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)．若從A點(diǎn)射入的粒子，恰好從y軸上的A′（0，l₀）沿x軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如圖所示．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）求在AC間還有哪些位置的粒子，通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)？
（3）若以直線x=2l₀上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是多大？相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是多大？

Answer 1

分析 （1）將帶電粒子的運(yùn)用沿水平和豎直方向正交分解，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在x軸上下方都做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析；
（2）先畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的一般軌跡，要使粒子通過(guò)電場(chǎng)后能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其第一次到達(dá)x軸的水平分位移的2n倍等于2l₀，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析即可；
（3）先畫(huà)出各個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)題意確定磁場(chǎng)范圍，最后根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）設(shè)從A點(diǎn)射入的粒子由A點(diǎn)到A'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)成稱(chēng)性可得：
x方向有：2l₀=v₀t得$t=\frac{{2{l_0}}}{v_0}$    ①
y方向有：${l_0}=\frac{qE}{2m}{（\frac{t}{2}）^2}$       ②
解得     $E=\frac{2mv_0^2}{{q{l_0}}}$         ③
即從AC間入射的粒子穿越電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t為$\frac{2{l}_{0}}{{v}_{0}}$，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$．
（2）設(shè)到C點(diǎn)距離為△y處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿x軸正方向，粒子第一次到達(dá)x軸用時(shí)△t，水平分位移△x，
則△x=v₀△t     ④
$△y=\frac{qE}{2m}{（△t）^2}$   ⑤
要粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)速度方向也沿x軸正方向，必須滿(mǎn)足條件2l₀=n•2△x（n=1，2，3…）      ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥解得：$△y=\frac{1}{n^2}{l_0}$⑦
故粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)速度方向也沿x軸正方向，必須是在AC間縱坐標(biāo)為：$y={（-1）}^{n}\frac{1}{{n}^{2}}{l}_{0}，（n=1，2，3…）$⑧
（3）當(dāng)n=1時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為y₁=l₀⑨
當(dāng)n=2時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為${y_2}=-\frac{1}{4}{l_0}$⑩
當(dāng)n≥3時(shí)，沿x軸正方向射出的粒子分布在y₁到y(tǒng)₂之間（如圖所示）．
y₁、y₂之間距離為  $L={y_1}-{y_2}=\frac{{5{l_0}}}{4}$   （11）
所以，磁場(chǎng)圓O₁的最小半徑$R=\frac{L}{2}=\frac{{5{l_0}}}{8}$  （12）
若使粒子經(jīng)磁場(chǎng)后匯集于直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)，分析知此點(diǎn)只能是答圖中的Q點(diǎn)，且粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑．    
由  $q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$  （13）
聯(lián)立（12）（13）得：$B=\frac{{8m{v_0}}}{{5q{l_0}}}$  （14）
即磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是$\frac{5{l}_{0}}{8}$，相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$；
（2）粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)速度方向也沿x軸正方向，必須是在AC間縱坐標(biāo)為：$y={（-1）}^{n}\frac{1}{{n}^{2}}{l}_{0}，（n=1，2，3…）$；
（3）若以直線x=2l₀上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是$\frac{5{l}_{0}}{8}$；相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；解題過(guò)程中要畫(huà)出軌跡圖分析，特別是第三小題，要畫(huà)出準(zhǔn)確的圓軌跡圖分析才能有助與問(wèn)題的解決．