Question

3．如圖，A、B兩行星以不同半徑、相同方向繞一恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A行星的周期為T₁，B行星的周期為T₂，若某一時(shí)刻兩行星相距最近，則（　　）

• A． 再經(jīng)過時(shí)間T₁ T₂兩行星相距最近
• B． 再經(jīng)過時(shí)間$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$兩行星相距最近
• C． 再經(jīng)過時(shí)間$\frac{2{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$兩行星相距最遠(yuǎn)
• D． 再經(jīng)過時(shí)間$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$兩行星相距最遠(yuǎn)

Answer 1

分析 兩行星相距最近時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一半徑方向上；兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一直徑上；由于A的軌道半徑小，所以A的角速度大，即A轉(zhuǎn)得較快；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)一圈時(shí)兩行星再次相距最近；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)半圈時(shí)兩行星相距最遠(yuǎn)．

解答 解：AB、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²
可得周期為：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，半徑越大周期越大，故由題意知，兩衛(wèi)星周期滿足T₁＜T₂
某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時(shí)間t₁兩衛(wèi)星再次相距最近時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過2π弧度，即有：
（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t₁=2π
所以可得：t₁=$\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
故A錯(cuò)誤，B正確；
CD、同理當(dāng)兩顆衛(wèi)星經(jīng)過時(shí)間t₂兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過π弧度，即有：
（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t₁=π
所以可得：t₂=$\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$₌$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{2（T}_{2}-{T}_{1}）}$
故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：BD

點(diǎn)評 根據(jù)幾何關(guān)系得到兩顆衛(wèi)星相距最近和相距最遠(yuǎn)所滿足的角度關(guān)系，最近時(shí)兩衛(wèi)星在同一半徑上角度差為2π弧度，衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩衛(wèi)星在同一直徑上，轉(zhuǎn)過的角度差為π弧度，這是解決本題的關(guān)鍵．