Question

如圖所示，在傾角θ=30°、足夠長(zhǎng)的斜面上分別固定著兩個(gè)物體A．B，相距L=0.2m，它們的質(zhì)量m_A=m_B=2kg，與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0時(shí)刻同時(shí)撤去固定兩物體的外力后，在然后的運(yùn)動(dòng)中，A與B物體發(fā)生連續(xù)碰撞（碰撞時(shí)間極短，忽略不計(jì)），每次碰后兩物體都相互交換速度．g取10m/s²．問(wèn)：
（1）A與B第一次碰前的瞬時(shí)A、B的速率分別是多大
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）從開(kāi)始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功分別是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A、B碰前瞬間的速率．
（2）兩物體碰后，交換速度，A做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，B做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出追及的時(shí)間，再求出開(kāi)始A與B碰前所需的時(shí)間，從而得出從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得出A、B物體速度的變化規(guī)律，分別求出A、B的位移，從而求出從開(kāi)始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功．

解答：解：（1）A物體沿斜面下滑時(shí)有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_AgcosθaA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　                
B物體沿斜面下滑時(shí)有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
分析可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．                                    
A與B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s，B的速率為零                  
（2）從AB開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞用時(shí)t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱悖�以后再做勻加速運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)物體將以v_B2=v'_B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．                
設(shè)再經(jīng)t₂時(shí)間相碰，則有v′B1t2=

1

2

a

t

2 2

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　　                 
故從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時(shí)間
t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s                                             
（3）從第2次碰撞開(kāi)始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞時(shí)，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段時(shí)間內(nèi)，B物體都做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則第n次碰前所運(yùn)動(dòng)的距離為
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物體比B物體多運(yùn)動(dòng)L長(zhǎng)度，則
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　                             
則w_A=μ_Am_Agcosθs_A=1+2n（n-1）J　                        
w_B=μ_Bm_Bgcosθs_B=4n（n-1）J      
答：（1）A與B第一次碰前的瞬時(shí)A、B的速率分別是1m/s，0m/s．
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷1.2s．
（3）從開(kāi)始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功分別是1+2n（n-1）J、4n（n-1）J．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合，關(guān)鍵需理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道A、B的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．