Question

18．如圖1所示，光滑曲面軌道置于高度為H=1.8m的平臺上，其末端與平臺水平相切，另有一長木板兩端分別擱在軌道末端點和水平地面間，構成傾角為θ=37°的斜面，整個裝置固定在豎直平面內，一個可視作質點的質量為m=0.1kg的小球，沿光滑曲面下滑，不計空氣阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

（1）若小球從某處以1m/s的初速度開始沿曲面下滑，小球離開平臺的速度大小為3m/s，則小球開始下落的高度h為多大？
（2）若小球由靜止沿曲面下滑后能夠落在木板上，則釋放小球的高度h應該滿足什么條件？
（3）試推導小球由靜止沿曲面下滑后第一次撞擊木板時的動能E_k與它下滑高度h的關系式，并作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求解；
（2）先根據(jù)平拋運動的位移公式求解出平拋的初速度，然后對沿斜面下滑過程運用機械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據(jù)位移時間關系公式得到運動時間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動能的一般表達式，再作圖．

解答 解：（1）小球從光滑曲面上滑下，只有重力做功，由機械能守恒定律：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 
解得：h=0.4m
（2）小球離開平臺后做平拋運動，從軌道下滑的高度h越大，落在平板上的位置越低，考慮恰好落在地面上的臨界情況，根據(jù)平拋運動的分運動公式，有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
tan37°=$\frac{H}{x}$
根據(jù)機械能守恒定律，有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：h=0.8m
故h≤0.8m即可落在木板上；
（3）由機械能守恒定律可得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由離開平臺后做平拋運動，可看做水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，則：
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$ 
x=v₀t
$tan37°=\frac{y}{x}$
v_y=gt
$v_t^2=v_0^2+v_y^2$
${E_K}=\frac{1}{2}mv_t^2$
由以上格式聯(lián)立可得：E_k=3.25h
考慮到當h＞0.8m時小球不會落到斜面上，其圖象如圖所示

答：（1）若小球從某處以1m/s的初速度開始沿曲面下滑，小球離開平臺的速度大小為3m/s，則小球開始下落的高度h為0.3m；
（2）若小球由靜止沿曲面下滑后能夠落在木板上，則釋放小球的高度h應該滿足條件h≤0.8m；
（3）小球由靜止沿曲面下滑后第一次撞擊木板時的動能E_k與它下滑高度h的關系式為E_k=3.25h，E_k-h圖象如上所示．

點評 本題關鍵是將平拋運動沿著水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移時間關系公式和速度時間關系列式，同時對沿斜面加速過程運用機械能守恒定律列式后聯(lián)立求解．