Question

4．載人航天飛行已成為人類探索太空的重要手段．由于地球在不斷的自轉，因而在發(fā)射宇宙飛船或衛(wèi)星時，可以利用地球的自轉以盡量減少發(fā)射人造飛船或衛(wèi)星時火箭所需的燃料，為此，國際社會目前正準備在最理想的地點建立一個聯(lián)合發(fā)射中心．
（1）這個發(fā)射中心應建在何處（供選地點：兩極、赤道、緯度45°處）？簡述選擇理由．
（2）運載火箭應最終朝什么方向發(fā)送（供選方向：東、西、南、北）？簡述選擇理由．
（3）今要在該中心發(fā)射一顆質量為m的同步衛(wèi)星，已知萬有引力常量為G、地球的半徑為R、地球的質量為M．要求同步衛(wèi)星離地面的高度，除了以上已知量外還要根據(jù)常識知道地球的什么物理量？并用這些量求出該高度；與地球沒有自轉相比，運載火箭在發(fā)射過程中利用地球自轉最多可以節(jié)省的能量為多少？
（4）如要發(fā)射一顆質量為m₀的探測器，讓它能夠飛離地球去探測其他行星，而不再靠近地球，忽略地球自轉、空氣阻力以及太陽和其他行星對它的影響，引力勢能的表達式為E_P=-G$\frac{Mm}{r}$．利用（3）中的已知量，求出它在地球表面至少應該獲得多少能量？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與半徑的關系，結合功能關系即可求解；
（2）根據(jù)地球自轉的方向，來確定求解；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，從而求解；為了盡量節(jié)省發(fā)射衛(wèi)星時需的能量，可以借助地球的自轉．節(jié)省的能量就是由于地球自轉而獲得的動能．
（4）根據(jù)機械能守恒，寫出表達式即可求解．

解答 解：（1）發(fā)射中心的地點應選在赤道處．因為地球赤道處自轉的線速度最大，由于慣性衛(wèi)星具有的初動能最多，所以最節(jié)省能量．
（2）運載火箭最終應朝東發(fā)送．因為地球自轉的方向是自西向東的．
（3）地球的自轉周期T=24小時
對同步衛(wèi)星有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T}）^2}$
得$r=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
同步衛(wèi)星離地面的高度$H=r-R=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
節(jié)省的能量即為在地面時衛(wèi)星隨地球自轉具有的動能$E=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}m{（\frac{2πR}{T}）^2}$
（4）由機械能守恒  $0=-G\frac{{M{m_0}}}{R}+{E_k}$
得：${E_k}=G\frac{{M{m_0}}}{R}$
答：（1）發(fā)射中心的地點應選在赤道處．因為地球赤道處自轉的線速度最大，由于慣性衛(wèi)星具有的初動能最多，所以最節(jié)省能量．
（2）運載火箭最終應朝東發(fā)送．因為地球自轉的方向是自西向東的．
（3）除了以上已知量外還要根據(jù)常識知道地球的自轉周期為24小時；與地球沒有自轉相比，運載火箭在發(fā)射過程中利用地球自轉最多可以節(jié)省的能量是$\frac{1}{2}m{（\frac{2πR}{T}）}^{2}$；
（4）探測器在地球表面至少應該獲得的能量為$G\frac{M{m}_{0}}{R}$．

點評 本題的關鍵要理解衛(wèi)星的發(fā)射是利用了地球的自轉，節(jié)省了發(fā)射所需要的能量．對于估算問題，要利用常識和物理模型結合解答．