Question

8．某次摩托車的特技表演可簡(jiǎn)化為如下模型，AB是長(zhǎng)度為x的水平頂，BC是半徑為2R的$\frac{1}{4}$圓弧，DEG是半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧，D點(diǎn)在C點(diǎn)正上方，G點(diǎn)距右側(cè)水平面高度為R，質(zhì)量為m的摩托車（可視為質(zhì)點(diǎn)）在大小恒定的牽引力F作用下從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，牽引力在ABC段的大小恒為F，摩托車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，之后沿豎直方向從D點(diǎn)進(jìn)入上面的軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，從G點(diǎn)脫離上方軌道，進(jìn)入右側(cè)水平面，已知重力加速度為g，假設(shè)在ABC段摩托車所受阻力恒定，且為重力的k倍，忽略其在DEG段及空氣中所受的阻力
（1）為了使摩托車能安全通過軌道，求力F的最小值；
（2）若摩托車離開C點(diǎn)速度大小是$\sqrt{10gR}$，判斷摩托車能否安全通過上方圓弧軌道，若不能通過，計(jì)算在C點(diǎn)時(shí)應(yīng)具有的最小速度；若能通過，求摩托車落在右側(cè)水平面的位置距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出E點(diǎn)的最小速度，對(duì)A到E過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出F的最小值．
（2）對(duì)C到E段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出E點(diǎn)的速度，從而判斷能否通過上方圓弧軌道．若能通過，根據(jù)動(dòng)能定理求出G點(diǎn)的速度，結(jié)合高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出水平位移，得出摩托車落在右側(cè)水平面的位置距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)．

解答 解：（1）為了使摩托車安全通過軌道，在E點(diǎn)有最小速度，根據(jù)$mg=m\frac{{{v}_{E}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{E}=\sqrt{gR}$，
對(duì)A到E的過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，F(xiàn)（x+πR）-kmg（x+πR）-mg（2R+R+2R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-0$，
解得最小F=$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）對(duì)C到E運(yùn)用動(dòng)能定理得，$-mg•3R=\frac{1}{2}m{{v}_{E}′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$，
解得v_E′=$\sqrt{4gR}$＞v_E，知摩托車能安全通過上方的圓弧軌道，
對(duì)C到G點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理得，$-mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{G}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得v_G=$\sqrt{8gR}$，
根據(jù)R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
則摩托車落在右側(cè)水平面的位置距離C點(diǎn)的距離x=v_Gt-R=4R-R=3R．
答：（1）力F的最小值為$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）能安全通過上方圓弧軌道，摩托車落在右側(cè)水平面的位置距離C點(diǎn)3R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．