Question

19．如圖1所示是“嫦娥三號(hào)”奔月的過程中某階段運(yùn)動(dòng)示意圖．關(guān)閉動(dòng)力的嫦娥三號(hào)探測(cè)器在月球引力作用下向月球靠近，在橢圓軌道B處變軌進(jìn)入半徑為r的圓軌道Ⅰ，此時(shí)探測(cè)器繞月球做圓周遠(yuǎn)動(dòng)的周期為T．經(jīng)多次變軌，“嫦娥三號(hào)”最后從圓軌道Ⅱ上的D點(diǎn)處變軌，進(jìn)入橢圓軌道Ⅲ．由近月點(diǎn)C成功落月．探測(cè)器在月面實(shí)現(xiàn)軟著陸是非常困難的，探測(cè)器接觸地面瞬間速度為豎直向下的v₀，大于要求的軟著陸速度v₁，為此，科學(xué)家們?cè)O(shè)計(jì)了一種叫電磁阻尼緩沖裝置，其原理如圖2所示．主要部件為緩沖滑塊K和絕緣光滑的緩沖軌道MN、PQ．探測(cè)器主體中還有超導(dǎo)線圈（圖中未畫出），能產(chǎn)生垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，導(dǎo)軌內(nèi)的緩沖滑塊由高強(qiáng)絕緣材料制成．滑塊K上繞有閉合單匝矩形線圈abcd，線圈的總電阻為R，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．當(dāng)探測(cè)器接觸地面時(shí)，滑塊K立即停止運(yùn)動(dòng)，此后線圈與軌道間的磁場(chǎng)作用，使探測(cè)器做減速運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)緩沖．若裝置中除緩沖滑塊（含線圈）外的質(zhì)量為m，萬有引力常量為G，月球表面的重力加速度為$\frac{g}{6}$，g為地球表面重力加速度，不考慮運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)產(chǎn)生的電場(chǎng)．

（1）試用上述信息求出月球的質(zhì)量和半徑；
（2）為使探測(cè)器主體做減速運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足什么條件？
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，探測(cè)器可做減速運(yùn)動(dòng)．若從v₀減速到v₁的過程中，通過線圈截面的電量為q．求該過程中線圈產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）嫦娥三號(hào)在軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，列式可求得月球的質(zhì)量．物體在月球表面上時(shí)，重力等于萬有引力，列式可求得月球的半徑．
（2）為了使探測(cè)器作減速運(yùn)動(dòng)，其所受的安培力需大于其自身重力，據(jù)此列式，求得勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件．
（3）根據(jù)通過線圈截面的電量求出探測(cè)器下降的高度，線圈產(chǎn)生的焦耳熱等于探測(cè)器機(jī)械能的變化量．由能量守恒求解．

解答 解：（1）嫦娥三號(hào)在軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
得月球的質(zhì)量 $M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
在月球表面，由m′•$\frac{1}{6}$g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
即 $\frac{GM}{R^2}=\frac{1}{6}g$
解得月球半徑 $R=\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{6r}{g}}$
（2）為了使探測(cè)器作減速運(yùn)動(dòng)，其所受的安培力需大于其自身重力
即$\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R}$＞$m•\frac{1}{6}g$
可得 B＞$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{{6{v_0}}}}$
（3）通過線圈截面的電量為 $q=\frac{△ϕ}{R}=\frac{{{B_0}Lh}}{R}$
可得探測(cè)器下降的高度 $h=\frac{qR}{{{B_0}L}}$
線圈產(chǎn)生的焦耳熱等于探測(cè)器機(jī)械能的變化量，則
$Q=\frac{1}{2}m（v_0^2-v_1^2）+\frac{1}{6}mgh$
解得 $Q=\frac{1}{2}m（v_0^2-v_1^2）+\frac{mgqR}{{6{B_0}L}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，半徑為$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{6r}{g}}$；
（2）為使探測(cè)器主體做減速運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件是B＞$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{{6{v_0}}}}$．
（3）該過程中線圈產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}）$+$\frac{mgqR}{6{B}_{0}L}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵要掌握兩條基本思路：萬有引力等于向心力及萬有引力等于重力．對(duì)于電磁感應(yīng)，知道已知電荷，往往能求出距離，運(yùn)用能量守恒求解熱量．