Question

12．電子擴(kuò)束裝置由電子加速器、偏轉(zhuǎn)電場和偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場由加了電壓的相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板形成，勻強(qiáng)磁場的左邊界與偏轉(zhuǎn)電場的右邊界相距為s，如圖甲所示．大量電子（其重力不計(jì)）由靜止開始，經(jīng)加速電場加速后，連續(xù)不斷地沿平行板的方向從兩板正中間射入偏轉(zhuǎn)電場．當(dāng)兩板不帶電時(shí)，這些電子通過兩板之間的時(shí)間為2t₀，當(dāng)在兩板間加如圖乙所示的周期為2t₀、幅值恒為U₀的電壓時(shí)，所有電子均從兩板間通過，進(jìn)入水平寬度為l，豎直寬度足夠大的勻強(qiáng)磁場中，最后通過勻強(qiáng)磁場打在豎直放置的熒光屏上．問：

（1）電子在剛穿出兩板之間時(shí)的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比為多少？
（2）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為多少？（已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中的半徑的公式可知，粒子的速度越大，半徑越大，所以要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場；
（2）電子垂直打在熒光屏上，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡的幾何關(guān)系，可以求得勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同．根據(jù)電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移可以求得打在熒光屏上的電子束的寬度．

解答 解：（1）由題意可知，要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，
在這種情況下，電子的側(cè)向位移為
y_max=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$+v_yt₀
y_max=$\frac{1}{2}•\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}+\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}$=$\frac{3e{U}_{0}}{2dm}{{t}_{0}}^{2}$
要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，
在這種情況下，電子的側(cè)向位移為y_min=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$
所以 y_min=$\frac{1}{2}•\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}$
所以最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移之比為y_max：y_min=3：1
（2）設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場中射出時(shí)的偏向角為θ，由于電子要垂直打在熒光屏上，
所以電子在磁場中運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)為：R=$\frac{l}{sinθ}$
設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的速度為v_t，垂直偏轉(zhuǎn)極板的速度為v_y，
則電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的偏向角為sinθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{t}}$
式中v_y=$\frac{e{U}_{0}}{dm}$t₀
又 R=$\frac{m{v}_{t}}{Be}$
由上述四式可得B=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$
（3）由于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，
因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同．
由第（1）問可知電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移的差值為：
△y=y_max-y_min
所以△y=$\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}$
所以打在熒光屏上的電子束的寬度為△y=$\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}$．
答：（1）電子在剛穿出兩板之間時(shí)的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比為3：1；
（2）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$；
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為$\frac{e{U}_{0}}{dm}{{t}_{0}}^{2}$．

點(diǎn)評 本題是難點(diǎn)為分析帶電粒子的難點(diǎn)是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，可通過畫軌跡作速度圖象分析什么時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子側(cè)向最大與最小．