Question

（2008?湖北模擬）如圖甲所示，PQNM是表面粗糙的絕緣斜面，abcd是質量m=0.5kg、總電阻R=O．5Q、邊長L=O．5m的正方形金屬線框，線框的匝數N=10．將線框放在斜面上，使斜面的傾角θ由O°開始緩慢增大，當θ增大到37°時，線框即將沿斜面下滑．現保證斜面的傾角θ=37°，在00′NM的區(qū)域加上垂直斜面方向的勻強磁場，使線框的一半處于磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化的圖象如圖乙所示．
（1）試根據圖乙求出B隨時間t變化的函數關系式．
（2）在t=O時刻線框是否會沿斜面運動？若要運動，請說出理由；若不運動，請求出從t=O時刻開始經多長時間線框即將發(fā)生運動．（g取10m/s²，sin 37°=O．6）

Answer 1

分析：（1）從乙圖看出，磁感應強度B隨時間t均勻增大，由數學知識求出斜率，即可得到B的表達式；
（2）不加磁場時，當θ=37°時，線框即將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好到達最大值，由平衡條件可求得最大靜摩擦力．加了磁場后，線框受到的安培力方向在斜面平面內，線框對斜面的壓力不變，最大靜摩擦力不變．當磁感應強度增大時，根據楞次定律得知線框受到的安培力沿斜面向上．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式求出t=0時刻線框所受的安培力大小，判斷線框能否向上運動．隨著安培力的增大，當線框所受的靜摩擦力沿斜面向下時，當線框剛要上滑時，靜摩擦力達到最大值，由平衡條件求出此時的安培力和磁感應強度B，即可由B的表達式求得時間．

解答：解：（1）由圖乙所示圖線可知：磁感應強度B隨時間t均勻增大，所以B=B₀+kt，其中B₀=0.2T，
   k=

0.6-0.2

1

=0.4T/s
所以B=0.2+0.4t（T）
（2）不加磁場時，由題意知，當θ=37°時，線框既將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好達到最大值f_max，由平衡條件有
   f_max=mgsinθ=0.6mg=3N．
加磁場后，由于壓力不變，故f_max的大小不變．
無論磁場方向垂直斜面向上還是向下，由楞次定理可知，當穿過線框的磁通量增大時，線框受到的安培力沿斜面向上，因此線框若是運動，則應沿斜面向上．應滿足F_安≥mgsinθ+f_max=6N，
由法拉第電磁感應定律有
   E=N

△Φ

△t

=N?

s

2

?

△B

△t

=

NkL2

2

=0.5V
由閉合電路歐姆定律知，電流I=

E

R

=1A，
在t=0時刻cd邊受到的安培力F₀=NILB₀=1N，
故F₀＜mgsinθ+f_max，
所以在t=0時刻，線框不會沿斜面下滑，也不會沿斜面上滑；
當摩擦力方向沿斜面向下達到最大值時，線框即將沿斜面向上運動，此時線框受力如圖所示，由平衡條件有 
   F_安=NBIL=mgsinθ+f_max=6N
得磁感應強度大小為B=1.2T，
由（1）知，B=0.2+0.4t，
則所經歷時間為t=2.5s．
答：
（1）根據圖乙得到B隨時間t變化的函數關系式是B=0.2+0.4t（T）．
（2）從t=O時刻開始經2.5s時間線框即將發(fā)生運動．

點評：本題是電磁感應與力學知識，要抓住線框剛要滑動時靜摩擦力牽線最大值這個臨界條件．當穿過線框中磁通量均勻增大時，線框中產生的感應電動勢不變．