Question

（20分）在半徑r＝2m、孔徑d＝0.5m的凹面鏡的焦點(diǎn)位置上，放一塊圓形屏幕，使平行于軸的所有入射光線經(jīng)凹面鏡反射后都能達(dá)到該圓形屏幕。試求圓形屏幕的直徑。如果在上述條件下圓形屏幕的直徑減少到僅由原來(lái)的，問(wèn)有多少部分的光能達(dá)到在同樣位置的屏幕上？

Answer 1

解析：我們只有采用較精確形式的反射定律，通過(guò)利用某些數(shù)學(xué)近似來(lái)求解本題。

　　按照教科書中通常的理論推導(dǎo)，半徑PO＝R的凹面鏡的焦點(diǎn)位于距離R的中點(diǎn)F處。我們用h表示凹面鏡孔徑之半。在P點(diǎn)的入射光線與半徑的夾角為α，反射后與軸交于F₁點(diǎn)。OP F₁是等腰三角形。

則：

故實(shí)際焦點(diǎn)與理論距離的偏差為

我們把圓形屏放在點(diǎn)F處，要求出屏幕的最小半徑值x。在直角三角形P F F₁中，應(yīng)用通常的小角近似，得：

對(duì)于小角度：，故

將代入，得焦“斑”的半徑為

將數(shù)值：h＝50/2＝25cm；R＝200cm，代入

即得：x＝0.195cm＝1.95mm

再看問(wèn)題的第二部分。如果圓形屏的半徑為x，則入射到凹面鏡的光束半徑為　　　

如果我們用半徑kx的屏代替半徑為x的屏，則入射光束的半徑為：

入射光的量正比于，因此

本題情形是，由此得出，落在圓形屏幕上光的量將是前者的