Question

1．如圖所示，豎直的半圓形軌道與水平面相切，軌道半徑R=0.2m，質量m=200g的小球以某一速度正對半圓形軌道運動，A、B、C三點分別為圓軌道最低點，與圓心等高點、最高點．小球過這三點的速度分別為：v₁=5m/s，v₂=4m/s，v₃=3m/s，求：
（1）小球經(jīng)過這三個位置時對軌道的壓力？
（2）小球從C點飛出到落到水平面上，其著地點與A點相距多少？（g=10m/s²）
（3）小球在最高點不脫離軌道的最小速率又是多少？

Answer 1

分析 （1）在A、C兩點，小球靠重力和彈力的合力提供向心力，在B點，小球靠彈力提供向心力，結合牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力大小，從而結合牛頓第三定律得出小球經(jīng)過這三個位置時對軌道的壓力；
（2）根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結合C點的速度和時間求出著地點與A點的距離；
（3）當小球到達最高點，剛好由重力提供向心力時，速度最小，根據(jù)牛頓第二定律求解最小速度．

解答 解：（1）在A點，根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${N}_{A}=mg+m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$=2+0.2×$\frac{25}{0.2}$N=27N．
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{B}=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=0.2×\frac{16}{0.2}$N=16N．
在C點，根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{C}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${N}_{C}=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}-mg=0.2×\frac{9}{0.2}-2$=7N，
根據(jù)牛頓第三定律知，小球經(jīng)過三個位置時對軌道的壓力分別為27N、16N、7N．
（2）根據(jù)2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
著地點與A點相距為：x=${v}_{C}t=3×\sqrt{\frac{4×0.2}{10}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}m$．
（3）當小球到達最高點，剛好由重力提供向心力時，速度最小，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{min}=\sqrt{gR}=\sqrt{2}m/s$．
答：（1）小球經(jīng)過三個位置時對軌道的壓力分別為27N、16N、7N；
（2）小球從C點飛出落到水平面上，其著地點與A點相距$\frac{3\sqrt{2}}{5}m$；
（3）小球在最高點不脫離軌道的最小速率為$\sqrt{2}m/s$．

點評 本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．