Question

8．如圖所示，為一小車軌道模型，一質(zhì)量為m=0.1kg的小車從軌道的最高點A（H=1m）由靜止滑下，AB段的動摩擦因數(shù)μ=0.2，其余段均為光滑，AB與水平面的夾角θ為45°，當小車到達最低點后，繞半徑r=0.2m的CD圓弧一周后，通過水平軌道CE，落入一距離BC為h=0.2m的平面FG中，F(xiàn)G的長度L為1m．

（1）求小車到達最高點D時所受軌道的作用力．
（2）若改變小車的下落位置，使小車最后恰好落在G點，則H為多大？
（3）若圓弧軌道粗糙，其余條件不變，當小車最后落在FG的中點時，求圓弧軌道的阻力做功．

Answer 1

分析 （1）小車從A到D的運動過程中，由動能定理求出小車通過D點的速度，再由牛頓定律求小車對軌道的壓力．
（2）小車離開E點后做平拋運動，由高度和水平位移可求得小車通過E點的速度，再對小車由A點到E點的過程，利用動能定理可求出H．
（3）由平拋運動的規(guī)律求出小車通過E點的速度，再對小車由A點到E點的過程，利用動能定理求圓弧軌道的阻力做功．

解答 解：（1）從A到D的運動過程中，由動能定理得
      $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0=mg（H-2r）-μmgcosθ$\frac{H}{sinθ}$ ①
當小車在D點時，由牛頓第二定律得
   mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$  ②
由①②得 N=3N  
因此小車到達最高點D時所受軌道的作用力大小為3N，方向豎直向下
（2）由平拋運動的特征可知：
    L=v_E1t   ③
    h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$   ④
由A點到E點，利用動能定理，可得
   $\frac{1}{2}m{v}_{E1}^{2}$-0=mgH-μmgcosθ$\frac{H}{sinθ}$  ⑤
由③④⑤可得，H=1.5625m
（3）由平拋運動的特征可知：
  $\frac{L}{2}$=v_E2t   ⑥
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$   ⑦
由A點到E點，利用動能定理，可得
    $\frac{1}{2}m{v}_{E2}^{2}$-0=mgH-μmgcosθ$\frac{H}{sinθ}$+W ⑧
由⑥⑦⑧可得，W=-0.4875J
即圓弧軌道的阻力做功為-0.4875J．
答：
（1）小車到達最高點D時所受軌道的作用力是3N，方向豎直向下．
（2）若改變小車的下落位置，使小車最后恰好落在G點，則H為1.5625m．
（3）若圓弧軌道粗糙，其余條件不變，當小車最后落在FG的中點時，圓弧軌道的阻力做功是-0.4875J．

點評 本題涉及力在空間的效果，要求速度時運用動能定理比較簡便，要注意選取研究的過程，分析出哪些力做功，不能遺漏．