Question

（2008?和平區(qū)模擬）如圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂贏紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界．質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，第一次，：粒子是經(jīng)電壓U₁加速后射入磁場(chǎng)，粒子剛好沒(méi)能從PQ邊界射出磁場(chǎng)．第二次粒子是經(jīng)電壓U₂加速后射入磁場(chǎng)，粒子則剛好垂直PQ射出磁場(chǎng)．不計(jì)重力的影響，粒子加速前速度認(rèn)為是零，求：
（1）為使粒子經(jīng)電壓U₂加速射入磁場(chǎng)后沿直線運(yùn)動(dòng)，直至射出PQ邊界，可在磁場(chǎng)區(qū)域加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，求該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．
（2）加速電壓

U1

U2

的值．

Answer 1

分析：畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑．帶電粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．
（1）根據(jù)洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡求出電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．
（2）再根據(jù)動(dòng)能定理研究粒子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，即可求出加速電壓及加速電壓之比．

解答：解：（1）經(jīng)電壓U₁加速后粒子射入磁場(chǎng)后剛好不能從PQ邊界射出磁場(chǎng)，表明在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與PQ邊界相切，要確定粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O的位置，如圖甲所示，圓半徑R₁與L的關(guān)系式為：L=R₁+R₁cosθ，R₁=

L

1+cosθ

．
又 qv₁B=m

v12

R

，解得v₁=

qBL

m(1+cosθ)

．
經(jīng)電壓U₂加速后以速度v₂射入磁場(chǎng)，粒子剛好垂直PQ射出磁場(chǎng)，可確定粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在PQ邊界線的O點(diǎn)，如圖乙所示，半徑R₂與磁場(chǎng)寬L的關(guān)系式為 R₂=

L

cosθ

．
又qv₂B=m

v22

R

．
解得v₂=

qBL

mcosθ

．
為使粒子經(jīng)電壓U₂加速射入磁場(chǎng)后沿直線運(yùn)動(dòng)，直至射出PQ邊界，則所受的洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡，
則qv₂B=qE
則E=v₂B=

qB2L

mcosθ

．方向垂直速度方向向下．
（2）在加速電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU1=

1

2

mv12
qU2=

1

2

mv22
所以

U1

U2

=

v12

v22

=

cos2θ

(1+cosθ)2

．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

qB2L

mcosθ

．
（2）加速電壓

U1

U2

的值

cos2θ

(1+cosθ)2

．

點(diǎn)評(píng)：題中帶電粒子先加速后在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)中運(yùn)用動(dòng)能定理求解速度，在磁場(chǎng)中畫軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑，都是必須掌握的常用方法．