Question

11．如圖所示，水平傳送帶AB的長(zhǎng)度L=3.75m，皮帶輪的半徑R=0.1m．現(xiàn)有一個(gè)小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）以水平速度v₀從A點(diǎn)滑上傳送帶，物體與傳送帶間動(dòng)摩擦因素μ=0.2，傳送帶上表面距地面高度h=5m，g取10m/s²，試討論以下問題：
（1）若皮帶靜止，要使小物體滑到B端后做平拋運(yùn)動(dòng)，則小物體滑上A的初速度v₀至少為多少？
（2）若皮帶以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小物體滑上A的初速度v₀=3m/s，求小物體由A到B的時(shí)間和落地點(diǎn)到B的水平距離
（3）若皮帶以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求v₀滿足什么條件時(shí)，小物塊均落在地面上的同一點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出在B點(diǎn)恰好做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和速度位移公式求出小物塊滑上A點(diǎn)的最小初速度．
（2）根據(jù)小物塊和傳送帶的速度大小關(guān)系確定小物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小物塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移．
（3）抓住小物塊一直做勻加速運(yùn)動(dòng)或一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出v₀滿足的條件．

解答 解：（1）若皮帶靜止，小物體在皮帶上滑動(dòng)的加速度為a，則：μmg=ma，
要使小物塊在B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則小物體在B點(diǎn)開始時(shí)對(duì)皮帶壓力為0，即：$mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ 解得：v_B=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.1}=1m/s$    
又 v₀²-v_B²=2aL     
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4m/s
（2）若皮帶輪以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶的速度v=Rω=4m/s＞v₀
小物體剛在皮帶上滑動(dòng)時(shí)加速，加速度為：a=μg=2m/s²
加速時(shí)間  勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t_1}=\frac{{v-{v_0}}}{a}=0.5s$
加速位移${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}t=\frac{3+4}{2}×0.5=1.75m$＜3.75m
然后勻速，時(shí)間為t₂，則${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{3.75-1.75}{4}=0.5s$
小物體由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間 t=t₁+t₂=0.5+0.5s=1s．
平拋時(shí)豎直方向 h=$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$，解得：t3=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1s$，水平方向：s=vt₃        
代入數(shù)據(jù)解得：s=4×1=4m．
（3）對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，h一定，下落的時(shí)間t一定
要保證落到同一點(diǎn)，就需要從B點(diǎn)平拋出來(lái)的初速度都相等，且等于4m/s
A、當(dāng)v₀比較小，A到B一直加速剛好到B點(diǎn)速度等于傳送帶速度v=4m/s
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)中摩擦力提供合外力，故a的大小是2m/s²
根據(jù)$v_B^2-v_{01}^2=2aL$可得：v₀₁=1m/s
B、當(dāng)v₀比較大，A到B一直減速剛好到B點(diǎn)速度等于傳送帶速度v=4m/s
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)中摩擦力提供合外力，故a的大小是2m/s²，但是負(fù)值
根據(jù)$v_B^2-v_{02}^2=2aL$可得：${v}_{02}=\sqrt{31}m/s$
所以v₀滿足的條件是$1m/s≤{v_0}≤\sqrt{31}m/s$
答：（1）小物體滑上A點(diǎn)的初速度v₀至少為4m/s．
（2）小物體由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為1s，落地點(diǎn)到B的水平位移為4m．
（3）當(dāng)$1m/s≤{v_0}≤\sqrt{31}m/s$時(shí)，小物塊均落在地面上的同一點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，難度中等．