Question

（2010?上海模擬）兩根長(zhǎng)直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)為軌道最低點(diǎn)，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內(nèi)．質(zhì)量均為m的兩小環(huán)P、Q用長(zhǎng)為

2

R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將MN兩環(huán)從距離地面2R處由靜止釋放，整個(gè)過(guò)程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能△E_P；
（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度v；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P環(huán)能達(dá)到的最大速度v_m；
（4）若將桿換成長(zhǎng)2

2

R，P環(huán)仍從原處由靜止釋放，經(jīng)過(guò)半圓型底部再次上升后，P環(huán)能達(dá)到的最大高度H．

Answer 1

分析：（1）輕桿下滑過(guò)程，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，確定出兩環(huán)下降的高度，即可由求得△E_P；
（2）P、Q都進(jìn)入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，兩環(huán)速度大小一定相等，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式求解最大速度．
（3）當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的速度最大，此時(shí)MN離O點(diǎn)豎直高度為

2

2

R，再由機(jī)械能守恒求解．
（4）由于桿長(zhǎng)超過(guò)了半圓直徑，故A環(huán)一直在下方，速度為零時(shí)，結(jié)合幾何關(guān)系并根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．

解答：解：（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能 △Ep=WGM+WGN=mg2R+mg(1+

2

)R=(3+

2

)mgR
（2）P、Q都進(jìn)入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等
整體的機(jī)械能守恒，則有：△E_P=△E_K
則得  (3+

2

)mgR=

1

2

2mv2
得到 v=

(3+ 2 )gR

（3）當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的速度最大，此時(shí)MN離O點(diǎn)豎直高度為

2

2

R
則有（1+

2

2

）mgR+（

2

+1+

2

2

）mgR=

1

2

?2m

v

2 m

 
得到 v=

(2+2 2 )gR

（4）由于桿超過(guò)了半圓直徑，所以?xún)森h(huán)運(yùn)動(dòng)如圖．

M再次上升后，設(shè)位置比原來(lái)高h(yuǎn)，如圖所示．
由機(jī)械能守恒：-mgh+mg（2

2

R-2R-h）=0 
解得h=(

2

-1)R，
P環(huán)能達(dá)到的最大高度H=(

2

+1)R
答：
（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能△E_P是（3+

2

）mgR．
（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度v是

(3+ 2 )gR

．
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P環(huán)能達(dá)到的最大速度v_m是

(2+2 2 )gR

．
（4）若將桿換成長(zhǎng)2

2

R，P環(huán)仍從原處由靜止釋放，經(jīng)過(guò)半圓型底部再次上升后，P環(huán)能達(dá)到的最大高度H是（

2

+1）R．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系多次得到環(huán)的具體位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可．