Question

作為我國對月球?qū)嵤�無人探測的第二階段任務，“嫦娥二號”衛(wèi)星預計在2011年前發(fā)射，登月器也將指日登陸月球．質(zhì)量為m的登月器與航天飛機連接在一起，隨航天飛機繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運動．當它們運行到軌道的A點時，登月器被彈離，航天飛機速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運動，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點，在月球表面逗留一段時間后，經(jīng)快速起動仍沿原橢圓軌道回到分離點A并立即與航天飛機實現(xiàn)對接．已知月球表面的重力加速度為g_月．試求：
（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）登月器和航天飛機在半徑3R的軌道上運行，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力列出等式求解
（2）對登月器和航天飛機依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現(xiàn)對接，根據(jù)周期關系列出等式求解．
解答：解：（1）設登月器和航天飛機在半徑3R的軌道上運行時的周期為T，
因其繞月球作圓周運動，
所以應用牛頓第二定律有
…①
在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，
即…②
聯(lián)立①②解得…③
（2）設登月器在小橢圓軌道運行的周期是T₁，航天飛機在大橢圓軌道運行的周期是T₂．
對登月器和航天飛機依據(jù)開普勒第三定律分別有…④
…⑤
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現(xiàn)對接，登月器可以在月球表面逗留的時間t應滿足
t=nT₂-T₁  （其中，n=1、2、3、…）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得 （其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是
（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是（其中，n=1、2、3、…）
點評：該題考查了萬有引力定律及圓周運動相關公式的直接應用，難度不大，屬于中檔題．