Question

8．如圖所示，A，B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線(xiàn)相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線(xiàn)剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證定滑輪左側(cè)細(xì)線(xiàn)豎直，右側(cè)細(xì)線(xiàn)與斜面平行．已知B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線(xiàn)與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知斜面傾角α=30°．
（1）若釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)C恰好要離開(kāi)地面，試求A的質(zhì)量M₁和A獲得的最大速度v_m；
（2）若釋放A后，A沿斜面下滑至位移最大時(shí)C恰好要離開(kāi)地面，試求A的質(zhì)量M₂；
（3）若A的質(zhì)量M_A=3m，釋放A后，C能否離開(kāi)地面？若能離開(kāi)地面，求出C剛要離開(kāi)地面時(shí)A、B的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）C球剛離開(kāi)地面時(shí)，彈簧的彈力等于C的重力，根據(jù)牛頓第二定律知B的加速度為零，B、C加速度相同，分別對(duì)B、A受力分析，列出平衡方程，可以求出A的質(zhì)量，對(duì)B、C組成的系統(tǒng)由動(dòng)能定理可以求出最大速度．
（2）A下滑至位移最大時(shí)，速度為0，對(duì)系統(tǒng)根據(jù)機(jī)械能守恒列式，A減少的重力勢(shì)能等于B增加的勢(shì)能
（3）判斷物體C能否離開(kāi)地面，取決于A的質(zhì)量是否大于臨界值，經(jīng)判斷能離開(kāi)地面，再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒即可求解

解答 解：（1）當(dāng)A所受合力為零時(shí)，速度最大，此時(shí)：a_A=a_B=a_C=0，
此時(shí)C剛離開(kāi)地面時(shí)，由平衡條件得：
對(duì)C：kx₂=mg，
對(duì)B：T-kx₂-mg=0，
對(duì)A：M₁gsin30°-T=0，
解得：M₁=4m；
開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，且線(xiàn)上無(wú)拉力，
對(duì)B有：kx₁=mg，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
則從釋放A至C剛離開(kāi)地面過(guò)程中，彈性勢(shì)能變化量為零，此過(guò)程中由機(jī)械能守恒得：
M₁g（x₁+x₂）sin30°-mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（M₁+m）v²-0，解得：v=2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒守恒定律${M}_{2}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°=mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$
解得：${M}_{2}^{\;}=2m$
（3）當(dāng)$2m＜{M}_{A}^{\;}=3m＜4m$，C能離開(kāi)地面
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
${M}_{A}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°-mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$=$\frac{1}{2}（{M}_{A}^{\;}+m）{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=g\sqrt{\frac{m}{2k}}$
答：（1）若釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)C恰好要離開(kāi)地面，A的質(zhì)量${M}_{1}^{\;}$為4m和A獲得的最大速度${v}_{m}^{\;}$為$2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）若釋放A后，A沿斜面下滑至位移最大時(shí)C恰好要離開(kāi)地面，A的質(zhì)量${M}_{2}^{\;}$為2m；
（3）若A的質(zhì)量M_A=3m，釋放A后，C能離開(kāi)地面，C剛要離開(kāi)地面時(shí)A、B的速度大小$g\sqrt{\frac{m}{2k}}$

點(diǎn)評(píng) 本題難度中等，根據(jù)各物體的受力判斷運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)是關(guān)鍵，系統(tǒng)在只有重力或彈力做功的情況下機(jī)械能守恒，物體所受合外力最大時(shí)加速度最大，注意A剛要離開(kāi)地面時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量和剛開(kāi)始的壓縮量相同，所以彈性勢(shì)能的變化量是0．