Question

2008年12月，天文學(xué)家們通過觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A^*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A^*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.50×10²天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A^*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。

（1）若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50×10²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A^*的質(zhì)量M_A是太陽質(zhì)量M_S的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；

（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有的勢(shì)能為（設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零），式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.7×10^-11N·m²/kg²，光速c=3.0×10⁸ m/s，太陽質(zhì)量M_S=2.0×10³⁰kg，太陽半徑R_S=7.0×10⁸ m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A^*的半徑R_A與太陽半徑R_S之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）。

Answer 1

(1)4×10⁶ (2)17

解析：(1)S2星繞人馬座A^*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A^*對(duì)S2星的萬有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

①

②

設(shè)地球質(zhì)量為m_E，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r_E，周期為T_E，則

③

綜合上述三式得

式中T_E=1年④

r_E=1天文單位⑤

代入數(shù)據(jù)可得

⑥

(2)引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無限遠(yuǎn)，此時(shí)粒子的勢(shì)能為零�！疤幱诤诙幢砻娴牧Ｗ蛹词挂怨馑龠\(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零。根據(jù)能量守恒定律，粒子在黑洞表面處的能量也小于零，則有

⑦

依題意可知

R=R_A,M=M_A

可得

⑧

代入數(shù)據(jù)得

R_A＜1.2×10¹⁰m⑨

⑩