Question

4．如圖所示，光滑的定滑輪上繞有輕質(zhì)柔軟細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為3m的重物，另一端系一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，開始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時(shí)恰好達(dá)到穩(wěn)定速度而勻速下降．運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，忽略所有摩擦，重力加速度為g，求
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）將重物下降h時(shí)的時(shí)刻記作t=0，速度記為v₀，若從t=0開始磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，且金屬桿中始終不產(chǎn)生感應(yīng)電流，試寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間t變化的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，合力為零．分析金屬桿的受力情況，由F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv結(jié)合推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，即可由平衡條件求出重物勻速下降的速度v；
（2）根據(jù)能量守恒及串并聯(lián)電路的規(guī)律可求得R上產(chǎn)生的熱量；
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，說明穿過回路的磁通量不變，根據(jù)t時(shí)刻與t=0時(shí)刻磁通量相等列式，求解即可．

解答 解：（1）重物勻速下降時(shí)，設(shè)細(xì)線對(duì)金屬棒的拉力為T，金屬棒所受安培力為F，分析金屬棒受力T=mg+F
又$F={B_0}IL=\frac{{B_0^2{L^2}v}}{R+r}$
分析重物受力T=3mg
所以$v=\frac{2mg（R+r）}{{B_0^2{L^2}}}$
（2）設(shè)電路中產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，則由能量守恒$3mgh-mgh=\frac{1}{2}（3m）{v^2}+\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為Q_R，由串聯(lián)電路特點(diǎn)${Q_R}=\frac{R}{R+r}Q$
所以${Q_R}=\frac{2mghR}{R+r}-\frac{{8{m^3}{g^2}（R+r）R}}{{{B_0}^4{L^4}}}$
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，即磁通量不變?chǔ)?SUB>0=Φ_t，所以B₀hL=B_t（h+h₂）L
式中${h_2}={v_0}t+\frac{1}{2}a{t^2}$
又$a=\frac{3mg-mg}{3m+m}=\frac{g}{2}$
則磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間t的關(guān)系為${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$
答：（1）重物勻速下降的速度v為$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R為$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．
（3）出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間t變化的關(guān)系為${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，正確分析金屬桿的受力情況和能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，并要知道不產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件是磁通量不變．對(duì)于連接體，可直接運(yùn)用整體法求解加速度，也可以隔離求解加速度．