Question

在無風的情況下，假定雨點下落過程中受到的空氣阻力與下落速度的平方成正比，即f=kv²（k為比例系數(shù)且已知）．若雨點看作球形，球體體積大小的公式為

4

3

πr3，其中r為球體半徑，又雨點的密度為ρ．由于下落的高度較高，使得每個雨點最終都做勻速運動．
（1）簡述雨點下落的運動情況；
（2）若在雨點加速運動的某時刻速度為v₀，求其此時的加速度大��；
（3）求雨點落地時最終速度．

Answer 1

分析：（1）雨滴向下運動的過程中受重力和阻力，根據(jù)牛頓第二定律判斷出加速度的變化，根據(jù)加速度方向與速度方向的關系得出雨滴下落過程中的運動情況．
（2）若在雨點加速運動的某時刻速度為v₀，求出阻力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大�。�
（3）雨滴落地前做勻速直線運動，根據(jù)重力和阻力相等求出最終的速度的大�。�

解答：解：（1）在向下運動的過程中，加速度方向向下，做加速運動，速度增加，阻力增大，則加速度減小，所以雨滴先做加速度逐漸減小的加速運動，最終做勻速直線運動．
（2）雨滴的阻力f=kv02，
則加速度a=

mg-f

m

=g-

f

m

=g-

kv02

ρ? 4 3 πr3

=g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）當落地前有：mg=kv²
解得v=

mg k

=

ρ? 4 3 πr3g k

=

4ρπg(shù)r3 3k

．
答：（1）雨點先做加速度逐漸減小的加速運動，最終做勻速直線運動．
（2）此時的加速度大小為g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）雨點落地時最終速度

4ρπg(shù)r3 3k

．

點評：解決本題的關鍵知道加速度的方向與合力方向相同，當加速度方向與速度方向同向，做加速運動，當加速度方向與速度方向相反，做減速運動．