Question

8．某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為U₀、周期為T₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強磁場．若將一質(zhì)量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，經(jīng)電場加速后進入磁場，在磁場中運動時間T₀后恰能再次從a 孔進入電場加速．現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了$\frac{{m}_{0}}{100}$．（粒子在兩極板間的運動時間不計，兩極板外無電場，不考慮粒子所受的重力）．

（1）若在t=0時刻將該粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時的動能；
（2）若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)何時由板內(nèi)a孔處靜止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動能？最大動能是多少？

Answer 1

分析 （1）求第二次加速后從b孔射出時的動能只需知道加速時所對應(yīng)的電壓，故圖2求電壓即可；
（2）該粒子的質(zhì)量增加了$\frac{1}{100}$m₀，周期增加了△T=$\frac{1}{100}$T₀（圖象中為1），電壓改變?yōu)?\frac{2}{25}$U₀（圖象中為4），所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個．

解答 解：（1）質(zhì)量為m₀的粒子在磁場中作勻速圓周運動
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，T₀=$\frac{2πr}{v}$則T₀=$\frac{2π{m}_{0}}{qB}$
當粒子的質(zhì)量增加了$\frac{1}{100}$m₀，其周期增加△T=$\frac{1}{100}$T₀
根據(jù)題圖2可知，粒子第一次的加速電壓u₁=U₀
經(jīng)過$\frac{101}{100}$T₀第2次加速，第2次加速電壓u₂，如圖2
在三角形中，$\frac{{u}_{2}}{{U}_{0}}$=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}-\frac{{T}_{0}}{100}}{\frac{{T}_{0}}{4}}$=$\frac{24}{25}$，
所以粒子第2次的加速電壓：u₂=$\frac{24}{25}$U₀
粒子射出時的動能：E_k2=qu₁+qu₂
解得：E_k2=$\frac{49}{25}$qU₀
（2）將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，則現(xiàn)在的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀，粒子做圓周運動的周期不變；
在u_ab＞0時，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}}{△T}$=25
分析可知：粒子被連續(xù)加速次數(shù)最多，且加速電壓含u=U₀時，將獲得最大動能
設(shè)某時刻t，u=U₀時被加速，此時刻可表示為$\frac{{T}_{0}}{2}•N$，
靜止開始加速的時刻：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-n•$\frac{101{T}_{0}}{100}$，其中n=12，
將n=12代入得：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-$\frac{1212{T}_{0}}{100}$，
因為：t₁＜$\frac{{T}_{0}}{2}$，所以只能取N=25，解得：t₁=$\frac{19}{50}$T₀，
故粒子應(yīng)該在$\frac{19}{50}$T₀時刻由板內(nèi)a孔處靜止開始加速
由于電壓的周期為$\frac{1}{2}$T₀，所以t=$\frac{{T}_{0}}{2}•n$+$\frac{19}{25}{T}_{0}$（n=0，1，2，3…）
如下圖，設(shè)T₀=100，U₀=50，可以得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時間變化的圖象

從圖象可以看出，時間每改變△T=$\frac{1}{100}$T₀（圖象中為1），電壓改變?yōu)?\frac{2}{25}$U₀（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38…10，6，2，共13個，加上與圖象對稱的另一面的12個，共25個，
題中表示電壓分別為：$\frac{23}{25}$U₀，$\frac{21}{25}$U₀，$\frac{19}{25}$U₀…$\frac{5}{25}$U₀，$\frac{3}{25}$U₀，$\frac{1}{25}$U₀，加上另一面的12個，還有一個峰值U₀，
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可求出加速電壓做的總功，即動能的最大值，
故最大動能：E_km=2×（$\frac{1}{25}$+$\frac{3}{25}$+…+$\frac{23}{25}$）qU₀+qU₀=$\frac{313}{25}$qU₀
答：（1）第二次加速后從b孔射出時的動能為$\frac{49}{25}$qU₀；
（2）若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)在$\frac{19}{50}$T₀由板內(nèi)a孔處靜止開始加速，能經(jīng)25次加速后獲得最大動能，最大動能為$\frac{313}{25}$qU₀．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的圓周運動和在電場中的加速運動以及用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力．關(guān)鍵是要讀懂題，能判斷出怎樣才能得到最大動能即何時加速，加速電壓多大，難度較大．