Question

在光滑水平面上，有一個粗細均勻的單匝正方形線圈abcd，現(xiàn)在外力的作用下從靜止開始向右運動，穿過固定不動的有界勻強磁場區(qū)域，磁場區(qū)域的寬度為d且小于線圈邊長．現(xiàn)測得線圈中產(chǎn)生的感應電動勢E的大小和運動時間t變化關系如下圖所示．已知圖象中三段時間分別為△t₁，△t₂，△t₃，且在△t₂時間內外力為恒力．
（1）若測得線圈bc邊剛進入磁場時測得線圈速度為V，bc兩點間電壓為U，求△t₁時間內，線圈中的平均感應電動勢．
（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，則線框邊長與磁場寬度比值為多少？
（3）若僅給線圈一個初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場，試畫出線圈自bc邊進入磁場開始，其后可能出現(xiàn)的v-t圖象．（只需要定性表現(xiàn)出速度的變化，除了初速度v₀外，不需要標出關鍵點的坐標）

Answer 1

分析：1、線圈bc邊剛進入磁場時，bc邊切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，bc邊相當于電源，bc間電壓相當于路端電壓．
2、根據(jù)圖象可知，電動勢大小隨時間均勻增大，根據(jù)E=BLv得速度v隨時間均勻增大，線框作勻加速直線運動．
3、若僅給線圈一個初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場時，單匝正方形線圈受到向左的安培力，向右做減速運動，安培力隨速度的減小而減小，所以線圈向右做加速度減小的減速運動，但可能出現(xiàn)三種情形．
第一種情況，若v₀比較小，當bc邊到達磁場右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，接下來，就保持靜止．
第二種情況，當bc邊到達磁場右邊界時，速度還沒有減小為零，接下來穿過線圈的磁通量不變化，沒有感應電流，不受安培力，線圈做勻速直線運動，當ad邊進入磁場后，又要受到向左的安培力，接著又做加速度減小到的減速運動．
ad邊進入磁場做減速運動又有兩種情形：第一，可能ad邊到達磁場右邊界前，速度就已經(jīng)減為零；第二，可能ad邊到達磁場右邊界時，速度還沒有經(jīng)減為零，接著水平方向不受力，線圈做勻速運動．

解答：解：（1）線圈bc邊剛進入磁場時，bc邊切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，bc邊相當于電源，bc間電壓相當于路端電壓．
               由于bc間電壓U，則感應電動勢

4

3

U
設磁感應強度為B，則：

4

3

U=BLv…①
△t₁時間內，平均感應電動勢E=

△φ

△t1

=

BLd

△t1

/…②
聯(lián)立①②解得E=

4Ud

3v△t1

（2）根據(jù)圖象可知，電動勢大小隨時間均勻增大，根據(jù)E=BLv得速度v隨時間均勻增大，線框作勻加速直線運動．
設線框加速度a，bc邊進入磁場時速度v，△t₁=△t₂=2△t₃=2△t，線框邊長L，磁場寬d，
根據(jù)三段時間內線框位移，得
v?2△t+

1

2

a(2△t)2=d
v?4△t+

1

2

a(4△t)2=L
v?5△t+

1

2

a(5△t)2=L+d
解得

L

d

=

18

7

（3）若僅給線圈一個初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場時，單匝正方形線圈受到向左的安培力，向右做減速運動，安培力隨速度的減小而減小，所以線圈向右做加速度減小的減速運動，但可能出現(xiàn)以下幾種情況．
第一種情況，若v₀比較小，當bc邊到達磁場右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，接下來，就保持靜止，如圖甲．
第二種情況，當bc邊到達磁場右邊界時，速度還沒有減小為零，接下來穿過線圈的磁通量不變化，沒有感應電流，不受安培力，線圈做勻速直線運動，當ad邊進入磁場后，又要受到向左的安培力，接著又做加速度減小到的減速運動．
ad邊進入磁場做減速運動又有兩種情形：第一，可能ad邊到達磁場右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，如圖乙；第二，可能ad邊到達磁場右邊界時，速度還沒有經(jīng)減為零，接著水平方向不受力，線圈做勻速運動，如圖丙．
所以，若僅給線圈一個初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場，自線圈bc邊進入磁場開始，其后出現(xiàn)的v-t圖象有如下三種情形．

答：（1）若測得線圈bc邊剛進入磁場時測得線圈速度為V，bc兩點間電壓為U，求△t₁時間內，線圈中酌平均感應電動勢為：得E=

4Ud

3v△t1

（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，則線框邊長與磁場寬度比值為18：7．
（3）若僅給線圈一個初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場，自線圈bc邊進入磁場開始，其后出現(xiàn)的v-t圖象如上面圖甲、圖乙、圖丙三種情形．

點評：此題考查了多個知識點，法拉第電磁感應定律，導體切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢，閉合電路，安培力，力與運動的關系，是一道電磁學和力學的綜合題，屬于難題．