Question

（2004?廣州二模）如圖所示，將質(zhì)量為m_A=100g的平臺(tái)A連結(jié)在勁度系數(shù)k=200N/m的彈簧上端，彈簧下端固定在地上，形成豎直方向的彈簧振子，在A的上方放置m_B=m_A的物塊B，使A、B一起上下振動(dòng)，彈簧原長(zhǎng)為5cm．A的厚度可忽略不計(jì)，取g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)系統(tǒng)做小振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，A的平衡位置離地面C多高？
（2）當(dāng)振幅為0.5cm時(shí)，B對(duì)A的最大壓力有多大？
（3）為使B在振動(dòng)中始終與A接觸，振幅不能超過(guò)多大？

Answer 1

分析：（1）圖中AB作為振子，對(duì)于彈簧振子，彈簧的彈力與物體重力共同作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)振子的合力為零時(shí)處于平衡位置，由胡克定律求得彈簧的壓縮量x₀，A的平衡位置離地面的高度h=l₀-x₀；
（2）當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，有向上的最大加速度，此時(shí)A、B間相互作用力最大，彈簧的壓縮量等于A+x₀，對(duì)整體，根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律求出加速度，再對(duì)B研究，即可求得B對(duì)A的最大壓力；
（3）物體B恰好離開A時(shí)，A對(duì)B的彈力恰好為零，對(duì)于B此時(shí)只受重力，得到加速度為重力加速度g，說(shuō)明彈簧恰好處于原長(zhǎng)．即可得到最大振幅．

解答：解：（1）振幅很小時(shí)，A、B間不會(huì)分離，將A與B整體作為振子，當(dāng)它們處于平衡位置時(shí)，
根據(jù)平衡條件得
  kx₀=（m_A+m_B）g
得形變量  x₀=1cm
平衡位置距地面高度  h=l₀-x₀=4cm
（2）當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，有向上的最大加速度，此時(shí)A、B間相互作用力最大，設(shè)振幅為A
最大加速度 am=

k(A+x0)-(mA+mB)g

mA+mB

=

kA

mA+mB

=5m/s²
取B為研究對(duì)象，有N-m_Bg=m_Ba_m
得A、B間相互作用力  N=m_B（g+a_m）=1.5N
由牛頓第三定律知，B對(duì)A的最大壓力大小為1.5N
（3）為使B在振動(dòng)中始終與A接觸，在最高點(diǎn)時(shí)相互作用力應(yīng)滿足：N≥0
取B為研究對(duì)象，m_B-N=m_Ba，
當(dāng)N=0時(shí)，B振動(dòng)的加速度達(dá)到最大值，且最大值
 a_m=g=10m/s²（方向豎直向下）
因a_mA=a_mB=h，表明A、B僅受重力作用，此刻彈簧的彈力為零，彈簧處于原長(zhǎng)
   A=x₀=1cm  振幅不能大于1cm
答：
（1）當(dāng)系統(tǒng)做小振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，A的平衡位置離地面高為4cm．
（2）當(dāng)振幅為0.5cm時(shí)，B對(duì)A的最大壓力為1.5N．
（3）為使B在振動(dòng)中始終與A接觸，振幅不能大于1cm．

點(diǎn)評(píng)：物體處于平衡位置即重力與彈力相等的位置，同時(shí)當(dāng)物體A以最大振幅振動(dòng)時(shí)，A對(duì)B的支持力恰好為零，彈簧處于原長(zhǎng)．這是應(yīng)挖掘出來(lái)的臨界條件．