Question

13．如圖光滑水平導(dǎo)軌AB的左端有一壓縮的彈簧，彈簧左端固定，右端前放一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），物塊與彈簧不粘連，B點(diǎn)與水平傳送帶的左端剛好平齊接觸，傳送帶的長(zhǎng)度BC的長(zhǎng)為L(zhǎng)=6m，沿逆時(shí)針?lè)较蛞院愣ㄋ俣葀=2m/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．CD為光滑的水平軌道，C點(diǎn)與傳送帶的右端剛好平齊接觸，DE是豎直放置的半徑為R=0.4m的光滑半圓軌道，DE與CD相切于D點(diǎn)．已知物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．

（1）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶剛好能到達(dá)C點(diǎn)，求彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep；
（2）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶能夠通過(guò)C點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)圓弧軌道DE，從其最高點(diǎn)E飛出，最終落在CD上距D點(diǎn)的距離為x=1.2m處（CD長(zhǎng)大于1.2m），求物塊通過(guò)E點(diǎn)時(shí)受到的壓力大��；
（3）滿足（2）條件時(shí)，求物塊通過(guò)傳送帶的過(guò)程中產(chǎn)生的熱能．

Answer 1

分析 （1）彈簧彈性的勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為木塊的動(dòng)能，木塊通過(guò)傳送帶時(shí)滑動(dòng)摩擦力做的功等于木塊動(dòng)能的變化，據(jù)此計(jì)算可得；
（2）滑塊從E點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平勢(shì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得木塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求得木塊在E點(diǎn)受到的壓力；
（3）求出木塊經(jīng)過(guò)傳送帶時(shí)與傳送帶間的相對(duì)位移，根據(jù)Q=fL求得因摩擦產(chǎn)生的熱能．

解答 解：（1）滑塊經(jīng)過(guò)傳送帶時(shí)，摩擦力做的功等于滑塊動(dòng)能的變化，故有：
$-μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可知滑塊釋放時(shí)的動(dòng)能
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=μmgL=0.2×1×10×6J=12J$
彈簧釋放時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為木塊的動(dòng)能，所以滑塊剛好到達(dá)傳送帶C點(diǎn)時(shí)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為：12J；
（2）小滑塊離開E點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋知識(shí)有：
水平方向：x=v_Et
豎直方向：$y=2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由此可得，滑塊在E點(diǎn)的速度為：${v}_{E}=\frac{x}{t}=\frac{x}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=\frac{1.2}{\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}}m/s=3m/s$
根據(jù)牛頓第二定律有：在E點(diǎn)有：${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
可得滑塊受到的壓力為：${F}_{N}=m\frac{{v}_{E}^{2}}{R}-mg=1×\frac{{3}^{2}}{0.4}-1×10N=12.5N$
（3）根據(jù)動(dòng)能定理有：滑塊從D到E的過(guò)程中只有重力做功：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：滑塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為：v_D=5m/s
滑塊經(jīng)過(guò)傳送帶時(shí)只有阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：v_B=7m/s
因?yàn)榛瑝K做勻減速運(yùn)動(dòng)，故有：
L=$\frac{{v}_{B}+{v}_{D}}{2}$t，可得滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{6}{\frac{5+7}{2}}s=1s$
由此可知滑塊在傳送帶上滑動(dòng)時(shí)，滑塊相對(duì)于傳送帶的位移為：x=L+vt=6+2×1m=8m
所以滑塊因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=μmgx=0.2×1×10×8J=16J
答：（1）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶剛好能到達(dá)C點(diǎn)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep為12J；
（2）若釋放彈簧，物塊離開彈簧，滑上傳送帶能夠通過(guò)C點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)圓弧軌道DE，從其最高點(diǎn)E飛出，最終落在CD上距D點(diǎn)的距離為x=1.2m處（CD長(zhǎng)大于1.2m），物塊通過(guò)E點(diǎn)時(shí)受到的壓力大小為12.5N；
（3）滿足（2）條件時(shí)，求物塊通過(guò)傳送帶的過(guò)程中產(chǎn)生的熱能為16J．

點(diǎn)評(píng) 本題是傳送帶與平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合，關(guān)鍵是能掌握物體在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)，能根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，以及摩擦生熱由兩物體間的相對(duì)位移決定．