Question

6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一圓，O為圓心，AB為豎直直徑，C為圓周上一點，在圓內(nèi)放置兩跟光滑桿AC、OC，AC與AB成θ角，兩桿上各套一個小球（可看作質(zhì)點）a、b，將小球a、b由桿的上端從靜止釋放，小球a在桿上運動的時間為t₁，小球b在桿上運動的時間為t₂，當(dāng)θ角在0°到90°之間取值時，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 若t₁=t₂，θ角有一個確定的值
• B． 若t₁＜t₂，則30°＜θ＜60°
• C． 若t₁＞t₂，則30°＜θ＜60°
• D． 若θ＜30°，則t₁＜t₂

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓運動定律，推導(dǎo)出a球沿AC運動的時間t₁的表達(dá)式，利用幾何關(guān)系得知CO與豎直方向上的夾角，再利用牛頓運動定律推導(dǎo)出b球沿OC運動的時間t₂的表達(dá)式，根據(jù)選項給出的條件，逐一驗證各選項，即可得知正確結(jié)果．

解答 解：設(shè)半徑為R，沿AC運動時的加速度為：a=gcosθ
由幾何知識可知運動的位移為：s=2Rcosθ
由運動學(xué)公式有：s=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$
三式聯(lián)立得：t₁=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
由題意可知，OC與豎直方向的夾角為180°-2θ，其加速度大小為：a′=|gcos（180°-2θ）|
在CO上運動時有：R=$\frac{1}{2}$×|gcos（180°-2θ）|•${t}_{2}^{2}$
解得：t₂=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$
A、若t₁=t₂，即2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$，解得：θ=30°或θ=60°，θ角有兩個值，選項A錯誤．
BC、若t₁＜t₂，即2$\sqrt{\frac{R}{g}}$＜$\sqrt{\frac{2R}{gcos（180°-2θ）}}$，解得：30°＜θ＜60°，選項B正確，C錯誤．
D、若θ＜30°，則180°-2θ＞120°，|gcos（180°-2θ）|＞$\frac{1}{2}$，即得：2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$＜2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，得知：t₂＜t₁，選項D錯誤．
故選：B

點評 該題考查到了牛頓運動定律的綜合和應(yīng)用中的“等時圓”模型，分為兩種情況：
（1）物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點時間均相等，且為t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$（如圖甲所示）．   
（2）物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時間相等為t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$（如圖乙所示）．

該題同時還考查到了數(shù)學(xué)中三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用，要熟練的掌握三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的圖象．