Question

8．如圖所示，用長為L的絕緣輕桿連接兩個質量均為m的帶電小球A和B置于光滑絕緣的水平面上，A球的帶電量為+2q，B球的帶電量為-3q，構成一個帶電系統（它們均可視為質點，也不考慮兩者間相互作用的庫侖力）．現讓小球A處在有界勻強電場區(qū)域內．已知虛線MP位于細桿的中垂線上，MP的左側沒有電場，右側有勻強電場，電場強度大小為E，方向水平向右．從靜止釋放帶電系統，（忽略帶電系統運動過程中所產生的磁場影響）．求：
（1）帶電系統運動的最大速度為多少？
（2）帶電系統運動過程中，B球電勢能增加的最大值多少？
（3）若小球B帶電量為q′，其它物理量不變，帶電系統仍由圖示位置靜止釋放，經時間t小球B進入電場，又經時間2t小球B第一次回到初始位置，則小球B的帶電量q′為多少？

Answer 1

分析 （1）小球B剛進入電場帶電系統具有最大速度，根據動能定理求出帶電系統運動的最大速度；
（2）當帶電系統速度第一次為零，B克服電場力做功最多，B增加的電勢能最多，根據動能定理求出B運動的最大位移，結合電場力做功求出電勢能增加量的最大值．
（3）根據牛頓第二定律，結合位移時間公式求出帶電系統由靜止釋放到小球B剛進入電場的加速度，再根據牛頓第二定律和速度時間公式求出系統勻減速運動到零的時間，結合對稱性求出帶電系統回到初始位置時的加速度；由牛頓第二定律即可求出電量q．

解答 解：（1）小球B剛進入電場帶電系統具有最大速度，從釋放帶電系統到小球B剛進入電場的過程中，根據動能定理有：$2qEL=\frac{1}{2}2mv_{max}^2-0$
整理得：${v_{max}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）當帶電系統速度第一次為零，B克服電場力做功最多，B增加的電勢能最多
設B球在電場中的最大位移為x，由動能定理得：2qE（L+x）-3qEx=0-0
得：x=2L
所以B電勢能增加的最大值為：W₁=3qE×2L=6qEL
（3）設帶電系統由靜止釋放到小球B剛進入電場的過程中，帶電系統運動的時間為t，則有：$L=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
其中：${a}_{1}=\frac{2qE}{2m}$，解得$t=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
末速度v=a₁t
又設小球B進入電場后至小球B出電場的過程中，帶電系統運動的時間為t′，
其中：${a}_{2}=\frac{q′E-2qE}{2m}$
解得：$t′=\frac{2v}{{a}_{2}}$
根據對稱性可知，帶電系統從出電場到回到出發(fā)點的過程中所用的時間也是為t，而經時間t小球B進入電場，又經時間2t小球B第一次回到初始位置，所以：
t′=t
解得：q′=-6q．
答：（1）帶電系統運動的最大速度為${v_{max}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）帶電系統運動過程中，B球電勢能增加的最大值為6qEL；
（3）小球B的帶電量q′為-6q．

點評 本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合，選擇系統為研究對象，運用動能定理和牛頓第二定律進行求解，知道系統向右運動的過程和向左運動的過程具有對稱性．