Question

1．兩個沿豎直方向的磁感應強度大小相等、方向相反的勻強磁場穿過光滑的水平桌面，它們的寬度均為L．質量為m、邊長為L的平放在桌面上的正方形線圈的ab邊與磁場邊界ee′平行且兩者間的距離為L，如圖所示．線圈在恒力作用下由靜止開始沿桌面加速運動，ab邊進入左邊的磁場時恰好做速度為v的勻速直線運動，求：
（1）當ab邊剛越過ff′時線圈的加速度；
（2）當ab邊運動到ff′與gg′之間的正中間位置時，線圈又恰好做勻速直線運動，從ab邊剛越過ee′到達右邊磁場正中間位置的過程中，線圈共產生多少熱量？

Answer 1

分析 （1）進入磁場前，水平恒力做功，根據動能定理列式，得到恒力F與速度v的關系式；剛進入左邊磁場時做勻速運動，恒力與安培力二力平衡，列出平衡方程；剛越過中界線時，左右兩邊都切割磁感線，兩邊都受安培力，根據牛頓第二定律和安培力的表達式，求解加速度．
（2）ab邊剛越過中界線ff′和邊界線gg′的中間位置時，線框又恰好做勻速運動，恒力與安培力再次平衡，列出平衡方程，再根據能量守恒定律求解熱量．

解答 解：（1）進入前，由動能定理得：FL=$\frac{1}{2}$mv²…①
剛進入左邊磁場時線框勻速運動，則有：F=F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…②
剛越過中界線ff′時速度為v，ab、dc兩邊都切割磁感線，兩邊都受安培力，則線框所受的安培力為：
F′_安=2BIL=2B•$\frac{2BLv}{R}$•L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=4F_安=4F，根據牛頓第二定律得：a=$\frac{F-4F}{m}$=-3a₁=-$\frac{3{v}^{2}}{2L}$，方向水平向左．
（2）從剛進入到末位置由能量守恒定律得：F•$\frac{5}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv′²+Q，v′為末位置時速度，
由受力平衡得：F=4F_安=4×$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}$…③比較②③得：v′=$\frac{1}{4}$v，聯立解得：Q=$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．
答：（1）當ab邊剛越過ff′時線圈的加速度大小為$\frac{3{v}^{2}}{2L}$，方向：水平向左；
（2）從ab邊剛越過ee′到達右邊磁場正中間位置的過程中，線圈共產生的熱量為：$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，關鍵是分析和計算安培力的大小，要注意線框經過中界線2時，左右兩邊都切割磁感線，都產生感應電動勢，兩邊都受安培力，不能死記安培力表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．