Question

【題目】如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)存在理想邊界AB，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的方向與邊界成45°角，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里。今在AB上的O點(diǎn)向磁場(chǎng)中射入一個(gè)速度大小為v，質(zhì)量為m，方向與AB成45°角的帶正電粒子，此時(shí)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R。磁感應(yīng)強(qiáng)度B與電場(chǎng)強(qiáng)度E均未知但滿足關(guān)系E=vB，如果把帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)記為第一次進(jìn)入磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力，試計(jì)算：

（1）粒子第一次進(jìn)入電場(chǎng)以后，最多能克服電場(chǎng)力做的功；

（2）粒子第三次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)到O點(diǎn)的距離和該次進(jìn)入磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R1。

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。先為一段半徑為R的四分之三圓弧到a點(diǎn)，后恰好逆著電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零，又返回a點(diǎn)速度仍為v，然后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段四分之一圓弧到c點(diǎn)，之后垂直于電場(chǎng)線方向進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)。

（1）由分析可知，粒子在第一次進(jìn)入電場(chǎng)后到速度變?yōu)榱銜r(shí)克服電場(chǎng)力做功最多，設(shè)克服電場(chǎng)力做功為W，根據(jù)動(dòng)能定理可知：

可得

（2）當(dāng)粒子第三次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)距離O點(diǎn)的距離為Oa段、ac段與cd段的距離之和，分別記為x1、x2、x3，故有

粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在垂直電場(chǎng)方向的分位移

x=vt

在平行電場(chǎng)方向的分位移

又在平行電場(chǎng)中的加速度

因?yàn)殡妶?chǎng)方向與邊界成45°角，故有

粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)

又有

聯(lián)立以上公式可解得類平拋運(yùn)動(dòng)的位移

因此，O點(diǎn)到d點(diǎn)的距離

第三次進(jìn)入磁場(chǎng)后有

據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度偏角正切值為位移偏角正切值的2倍。

即

故可知

所以

所以可得粒子第五次進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡半徑為